Banca di problemi del RMT
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Un triangolo è diviso in due parti, aventi la medesima area, da un segmento, che unisce un vertice con un punto del lato opposto la cui lunghezza è 24 cm. Determinare la posizione di tale punto, sapendo anche che la lunghezza di un altro lato del triangolo è 18 cm.
- Rendersi conto che l’enunciato fornisce solo le misure di due lati del triangolo ABC e che di conseguenza questo triangolo non è “determinato”, cioè che quello disegnato non è l’unico con i lati di quelle misure.
- Rendersi quindi conto che l’area dell’orto è indeterminata, pur constatando che i due triangoli ADB e ADC hanno un’area indeterminata ma una doppia dell’altra.
- Constatare però che tali due triangoli hanno la stessa altezza tracciata da A. Pertanto perché un’area sia il doppio dell’altra essi devono avere le loro basi nello stesso rapporto 2.
- Capire che dunque la base di lunghezza 24 m, deve essere divisa in due parti proporzionali a 1 e 2. Quindi BD = 2 DC o DC = 2 BD.
- Dedurre che il paletto D deve essere piantato a 8 metri o a 16 metri da C.
Oppure: In maniera intuitiva, vista la mancanza di dati, accontentarsi della partizione della base in parti proporzionali a 1 e 2
Triangolo, altezza, area, proporzionalità, rapporto
Punteggi attribuiti su 3481 classi di 20 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 814 (57%) | 207 (14%) | 365 (25%) | 45 (3%) | 6 (0%) | 1437 | 0.76 |
| Cat 7 | 631 (52%) | 199 (16%) | 295 (24%) | 83 (7%) | 9 (1%) | 1217 | 0.88 |
| Cat 8 | 402 (49%) | 147 (18%) | 165 (20%) | 74 (9%) | 39 (5%) | 827 | 1.03 |
| Totale | 1847 (53%) | 553 (16%) | 825 (24%) | 202 (6%) | 54 (2%) | 3481 | 0.87 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Il problema, come è chiaro già dai risultati ottenuti e riportati più sopra, risulta molto mal riuscito e l’analisi a posteriori, oltre a consentirci di capire quali siano le ragioni precipue delle difficoltà incontrate dagli allievi, obbliga noi adulti a riflettere sugli effettivi ostacoli insiti nel problema.
La difficoltà principale di questo problema risiede in effetti e sostanzialmente nell’apparente mancanza di dati visto che il triangolo non è determinato (è generale).
Si tratta della famiglia di triangoli aventi un lato di 24 m e l’altro di 18 m, le cui aree variano da 0 a (24 X 18) : 2 Inoltre, nel caso in cui non si colga il fatto centrale secondo cui l’altezza è la medesima per i due triangoli, benché indeterminata, nel caso della ricerca delle aree è necessario passare attraverso le misure, oppure lavorare solo sulla base.
Il caso delle risposte errate
Nel caso degli elaborati dove non si arriva alla risposta corretta, e si tratta di un’ampia percentuale, si trovano tentativi di vario genere, con misure e calcoli, perlopiù nel tentativo di trovare le aree. In alcuni casi, trovata un’area la si divide per 2 e poi ancora per 2, confondendo i 3/4 con i 2/3.
In un certo numero di elaborati, soprattutto di categoria 6, dove si manifesta chiaramente un’incomprensione del problema, gli allievi "si sentono in obbligo" di usare comunque in qualche modo i numeri riportati sulla figura per calcolare l’area o il perimetro del triangolo, mostrando così anche di non conoscere le proprietà della figura. Inoltre, non riconoscono i dati non necessari per la risoluzione del problema come, per esempio, le dimensioni del lato AC. Tale misura viene usata, spesso, per determinare la lunghezza sconosciuta del lato AD, attraverso la sottrazione o l’addizione con il lato BC.
In alcuni casi, ancora soprattutto di categoria 6, permane la confusione fra area e perimetro.
Gli allievi operano sul perimetro come se questo fosse l’area, nel senso che lo dividono in due parti una doppia dell’altra, per verificare quanto riportato nell’enunciato circa l’appezzamento destinato rispettivamente alle patate o ai fagiolini. Vengono confuse le unità di misura di lunghezza e di superficie, le misure vengono espresse indifferentemente in centimetri o in metri e vengono mescolate.
Quando la risposta è corretta
Sia a livello della categoria 6 sia a quello di categoria 7, nella maggior parte dei casi, la risposta corretta, pur con spiegazioni spesso non complete, è stata data facendo riferimento solamente alla base del triangolo.
In effetti, se l’obiettivo principale del problema voleva essere quello di giocare sull’altezza anche di un triangolo ottuso, esterna al triangolo stesso, l’aver poi posto la domanda incentrata solo sulla base, ha spostato l’attenzione dai “triangoli” alle “basi”.
In alcuni casi è stata seguita una procedura a partire dall’altezza e poi misure in scala e calcoli delle aree o considerazioni corrette sul “rapporto” tra base e area dei due triangoli come nell’esempio che segue di categoria 7.
A partire dalla categoria 7 si incontrano elaborati dove è stato fatto uso del teorema di Pitagora.
Risposte dei gruppi di allievi di categoria 8
Il problema sembra diventare veramente interessante a livello della categoria 8 laddove alcuni gruppi di allievi prendono atto dell’aspetto “generale”, come detto più sopra e di conseguenza lo risolvono con una procedura generale che li conduce anche a trovare entrambe le soluzioni.
Benché siano rarissimi, anche in categoria 8, i casi di risposta con le due possibili soluzioni, alcuni elaborati evidenziano la comprensione del fatto che i triangoli in gioco abbiano la medesima altezza.
Va peraltro osservato che il problema non risulta semplice neanche a questo livello scolare dove i risultati sono leggermente migliori rispetto a quelli dei due livelli precedenti.
In alcuni casi gli allievi scrivono che è impossibile risolvere il problema perché mancano dei dati. Ma in uno di tali casi (cat. 8), gli allievi cercano di spiegare la “indeterminatezza” del problema con considerazioni interessanti dalle quali però non sanno poi “uscirne”!
Il problema dell’orto, mal riuscito nell’ambito della prova del RMT, assume particolare interesse in un’attività di classe. Nel suo enunciato figurano aspetti di geometria interessanti dal punto di vista didattico.
L’enunciato è un concentrato di aspetti interessanti sulle proprietà dei triangoli. Può aprire la strada a una costruttiva discussione sulla indeterminatezza di un triangolo laddove si conoscano le misure di soli due dei tre lati. E questa indeterminatezza induce anche quella dell’area del triangolo. Un altro aspetto importante è quello legato all’altezza che può essere, come in questo caso, la medesima per due triangoli in cui è diviso il triangolo dato e non è banale dal punto di vista didattico, cogliere il ruolo dell’altezza di un triangolo ottusangolo.
Bisogna prendere in considerazione l’analisi della formula “ab/2” e andare al di là della sua applicazione algoritmica: “prendo la base e l’altezza che mi danno (o le misuro), le moltiplico e poi le divido per 2”.
Troppo sovente l’insegnamento si limita a far apprendere la formula in maniera meccanica senza consacrarvi le necessarie riflessioni alla sua gestione critica.
Bisogna andare alla ricerca di queste lacune nel passato degli allievi delle categorie da 6 a 8, in ambiti diversi:
- Quando è stata introdotta l’area del rettangolo a partire dalle lunghezze dei suoi lati forse non è stato fatto osservare che la moltiplicazione suddetta non è solo quella dei numeri di quadratini quando la base è orizzontale, ma anche quella di numeri non necessariamente naturali e, più ancora un’operazione dove due misure di lunghezza conducono a un’altra grandezza: l’area. Inoltre, forse non è stato fatto osservare che se si raddoppia o si triplica … la lunghezza del rettangolo, anche l’area raddoppia o triplica …; che succede la medesima cosa per la larghezza, ma che se si raddoppia o triplica… la lunghezza e la larghezza, l’area non segue più la stessa “regola”!
- Al momento dell’approccio all’area del parallelogramma, forse non si è fatto osservare che la formula è la stessa dell’area del rettangolo.
- Al momento dell’approccio all’area del triangolo, forse non si è fatto osservare il legame tra la formula dell’area del parallelogramma o, più semplicemente che un qualunque triangolo è un semi-parallelogramma e che la sua “altezza” è anche quella del “parallelogramma".
- All’atto delle prime costruzioni del concetto di proporzionalità forse non si è pensato al caso della “proporzionalità multipla”, cioè a una grandezza che dipende da diverse altre per il tramite di una relazione moltiplicativa.
Nel caso dell’area del triangolo c’è una proporzionalità tra le misure della base e dell’area, come anche tra le misure dell’altezza e dell’area. Si ritrova il caso del rettangolo, ma con numeri reali (perché il modello dei quadratini “interi” non funziona) e con la divisione per 2 che agisce sul prodotto (divisione che è lontana da essere percepita come una moltiplicazione per 0,5 o 1/2 e che appare come natura differente dalla moltiplicazione delle due misure).
Se anche tutte queste osservazioni fossero state proposte al momento opportuno, non è inutile riprenderle in una discussione comune sull’area del triangolo insistendo sulla doppia proporzionalità – area e misura della base; area e misura dell’altezza -, la natura delle grandezze in gioco e il passaggio dalle lunghezze alle aree, l’associatività della moltiplicazione dei tre fattori: le due misure e 1/2, …
In classe, il problema potrebbe essere completato con un’ulteriore domanda del tipo:
Se il terreno più grande viene venduto a 10000 euro, a quanto deve essere venduto l’altro, allo stesso prezzo a metro quadro? Questa domanda indurrebbe gli allievi a passare attraverso la ricerca delle aree e a non utilizzare solo il rapporto in seno alla base.
Études / Approfondimenti. L’orto I – Le potager I, I membri del sottogruppo “per i grandi” del Gruppo geometria. IN La Gazzetta di Trasalpino n.9, 2019 pp 141-160.
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