Banca di problemi del RMT
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A partire dalla foto di un Tangram e dei suoi sette pezzi, trovare la misura del lato del Tangram sapendo che il lato del quadrato piccolo misura $u$.
Analisi a priori:
- Osservare e analizzare i sette pezzi in merito alla loro forma, alle loro superfici, ai loro lati e ai rapporti fra le superfici e ai lati (ci sono superfici uguali? Lati uguali? Superfici l’una doppia dell’altra? Lati uno doppio dell’altro? ...).
- Ricorso a qualche “piccola” deduzione: osservando, ad esempio che gli angoli in cui la diagonale del quadrato grande li divide in due, misurano $45^\circ$ e che quindi il triangolo piccolo in alto a sinistra è un triangolo rettangolo isoscele, così come è isoscele l’altro triangolo piccolo. Visto che il quadrato piccolo ha il lato di $u$ e quindi area $u^2$, i due triangoli piccoli hanno due lati lunghi $u$ e un’area di $1/2 u^2$, l’ipotenusa di un triangolo piccolo è uguale alla diagonale del quadrato piccolo ($u \sqrt{2}$), il parallelogramma ha due lati uguali all’ipotenusa del triangolo piccolo e due lati uguali al lato del quadrato, il triangolo medio ha l’ipotenusa di $2 u$ ($2$ volte il lato del quadrato) ed è diviso in due triangoli rettangoli isosceli dalla diagonali e hanno pertanto due lati di lunghezza $u$ e si ritrova un triangolo piccolo.
- Dedurre la misura del lato del Tangram: $2 \sqrt{2} u$.
Oppure
- Con il ricorso ad altre “piccole” deduzioni, mostrare che la metà del lato del Tangram è uguale alla misura della diagonale del quadrato piccolo. Infatti, se si considera l’asse di simmetria (passante ovviamente per il centro) del quadrato grande parallelo al lato orizzontale del Tangram, la metà di questo asse di simmetria coincide con la diagonale del quadrato piccolo che ha due suoi lati sulle due diagonali. Poiché la diagonale del quadrato piccolo è uguale a $u \sqrt{2}$ la misura del lato del Tangram sarà 2\sqrt{2} u$.
Oppure
- Capire che è possibile trovare il lato del Tangram a partire dalla sua area per trovare la quale è necessario trovare le misure delle aree dei suoi pezzi (si veda più sopra): quadrato piccolo $u^2$, triangoli piccoli $1/2 u^2$ ciascuno, il triangolo medio è anch’esso rettangolo isoscele ed è diviso in due triangoli uguali dalla diagonale del quadrato grande che sono some i due piccoli precedenti, quindi ciascuno di area $1/2 u^2$; se si divide in due il parallelogramma, per le considerazioni precedenti, dà luogo ancora a due triangoli piccoli come i precedenti. La sua area è dunque $u^2$. L’area della metà del quadrato è pertanto: $u^2 + u^2 + u^2 + 1/2 u^2 + 1/2 u^2 = 4 u^2$. L’area totale misura dunque $8u^2$.
Oppure
- Tener conto delle “deduzioni” precedenti e capire che il quadrato grande è composto da $16$ triangoli piccoli che danno un’area totale di $1/2 u^2 \times 16 = 8 u^2$. La misura del lato è allora $2\sqrt{2} u$.
Punti attribuiti su 794 classi di 18 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 205 (39%) | 102 (20%) | 81 (16%) | 52 (10%) | 82 (16%) | 522 | 1.43 |
| Cat 9 | 31 (23%) | 20 (15%) | 22 (16%) | 31 (23%) | 32 (24%) | 136 | 2.1 |
| Cat 10 | 21 (15%) | 11 (8%) | 26 (19%) | 39 (29%) | 39 (29%) | 136 | 2.47 |
| Totale | 257 (32%) | 133 (17%) | 129 (16%) | 122 (15%) | 153 (19%) | 794 | 1.72 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
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