Sur le mur de l'école (II)

Identificazione

Rally: 18.II.13 ; categorie: 6, 7, 8 ; ambito: GP
Famiglie:

• CA - Comparer des aires
• IF - Identifier des figures
• IF/RC - Reconnaître et construire des figures élémentaires
• QUA - Travailler sur un quadrillage
• QUA/GQ - Traiter des polygones sur quadrillages

Remarque et suggestion

Sunto

Identifier les rectangles, parallélogrammes non rectangles et autres parmi une chaîne de dix quadrilatères ayant des côtés communs dessinés sur un quadrillage et déterminer l’aire des deux plus grands.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

La tâche sur la reconnaissance des formes consiste à chaque fois, à vérifier la présence de côtés parallèles ou perpendiculaires.

Elle est simple pour le parallélisme, qu’on peut évaluer visuellement puis confirmer par un examen des côtés qui sont soit des segments du quadrillage ou des diagonales de rectangles du quadrillage, soit de 1 × 2, soit de 2 × 2 ou soit de 1 × 3.

Pour la perpendicularité la question ne se pose que pour les côtés adjacents qui sont des diagonales de rectangles. Dans la cinquième figure (numérotée de gauche à droite), il s’agit de rectangles différents, 1 × 2 et 1 × 3 dont les diagonales sont aussi différentes qui ne peuvent dont pas former un carré aux angles droits.

Dans la huitième figure, il s’agit de rectangles de 1 × 2 avec une rotation d’un quart de tour ou 90 degrés permettant de passer de l’un à l’autre, dont les diagonales sont donc perpendiculaires, comme les côtés correspondants. Dans la neuvième figure, il s’agit de rectangles différents 2 × 2 et 1 × 3 dont les diagonales ne peuvent être perpendiculaires.

Cette reconnaissance de perpendiculaires mobilise donc des savoirs sur les rotations de segments repérés dans le quadrillage.

La tâche du calcul des aires sur quadrillage est simple pour les figures décomposables en rectangles et demi-rectangles dont il suffit d’additionner les aires (exemple figure 4). D’autres ne permettent pas cette décomposition mais s’inscrivent dans un rectangle dont la partie extérieure à la figure se décompose en rectangles ou demi-rectangles; l’aire de la figure se calcule alors par soustractions successives à partir de celle du rectangle circonscrit (exemple figure 7).

Conclure que les figure 1 et 8 seront peintes en rouge car ce sont des rectangles, les trois parallélogrammes non rectangles 2, 5 et 9 en vert, les figures 3, 4, 6, 7 et 10 en jaune. Louis et Lucie peindront les quadrilatères 9 e 10, dont les aires mesurent 12 (en carrés du quadrillage)

Nozioni matematiche

quadrilatère, géométrie, parallélogramme, rectangle, aire, quadrillage, parallèle, perpendiculaire

Risultati

18.II.13

Points attribués sur 1984 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte et complète (1 et 8 en rouge, 2, 5 et 9 en vert, 3, 4, 6, 7 et 10 en jaune, 9 et 10 à peindre par Louis et Lucie) avec des explications claires pour les couleurs à partir des propriétés du rectangle et du parallélogramme, et une comparaison correcte des aires de 9 et 10
• 3 points: Réponse correcte avec explications complètes pour les couleurs et l’aire de 12 carreaux pour l’une des deux figures : le trapèze 10 ou le quadrilatère 9 (Louis ou Lucie)
  oppure réponse correcte pour les couleurs avec des explications incomplètes notamment pour les quadrilatères 6, 7 et 9 et avec réponse correcte pour les aires de Louis et Lucie
• 2 points: Réponse correcte pour les couleurs avec des explications claires
  oppure réponse correcte pour les couleurs avec des explications incomplètes notamment pour les quadrilatères 6, 7 et 9 et l’aire de 12 carreaux pour l’une des deux figures
  oppure erreur dans les couleurs rouge ou vert mais avec réponse correcte pour les aires de Louis et Lucie
• 1 point: Deux ou trois erreurs dans les couleurs avec au moins une réponse pour Louis ou Lucie
• 0 point: Incompréhension du problème

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Le groupe « géométrie plane » du RMT mène une recherche sur le concept de rectangle et a constaté que, contrairement à ce qu’on pense, de nombreux élèves sont incapables de reconnaître un rectangle lorsqu’il n’est pas dessiné dans une position conventionnelle (les côtés parallèles au bord de la feuille ou horizontaux ou verticaux). et, lorsqu’on leur demande de dessiner un rectangle dont un côté est donné, ils construisent souvent un parallélogramme non rectangle, ne tenant pas compte du critère des angles droits. (Voir en particulier La table à déplacer)

Au cœur de ce problème, il y a la distinction entre rectangle et parallélogramme et aussi entre les autres quadrilatères, puis la détermination de leurs aires par comptage d’unités.

L’erreur la plus fréquente, pour près de la moitié des copies examinées, est de considérer le cinquième quadrilatère depuis la gauche comme un rectangle, sans remarquer que sa largeur est la diagonale d’un rectangle (1 x 2) alors que sa longueur est la diagonale d’un rectangle (1 x 3). (Voir Tâche de résolution et savoir mobilisés)

Une autre erreur à propos de la reconnaissance des quadrilatères est de considérer le troisième depuis la gauche comme un parallélogramme.

La comparaison des résultats ci-dessus avec ceux du problème Sur le mur de l’école (I), où seule la reconnaissance des quadrilatères est demandée, montre que la distinction rectangle/parallélogramme est un obstacle qui subsiste bien au-delà des catégories 4 et 5.

Dans la seconde partie du problème concernant la détermination des aires, on retrouve les difficultés rencontrées très souvent, jusqu’en catégorie 8 : - Choisir le carreau du quadrillage comme unité d’aire, alors que cela semble évident. On relève de nombreux mesurages en centimètres et millimètres dont l’imprécision ne permet pas de conclure l’égalité. - Regrouper les parties non entières de carreaux pour former des carreaux entiers dans les procédures par comptage un à un. - Décomposer les polygones en rectangles et triangles dont les côtés sont des nombres entiers de côtés de carreaux du quadrillage, afin de pouvoir « calculer » les aires selon les unités de longueur déterminées. Dans cette procédure, l’aire du trapèze de droite, décomposé en un rectangle (2 x 4) et un triangle rectangle aussi de (2x4) est plus facilement déterminée que celle du parallélogramme voisin, dont la décomposition en deux triangles de « base » 6 et de « hauteur » 2 n’est pas efficace parce que la « base » n’est pas horizontale et la « hauteur » n’est pas verticale !!

Comme signalé dans la rubrique "Tâche de résolution et savoirs mobilités", l'aire de figures comme 4, 9 et 10 peuvent s'obtenir par additions des aires, à partir de leur décompositions en parties; les obstacles sont beaucoup plus élevés pour le calcul de l'aire de la figure 7 où les élèves ne pensent pas à travailler par soustractions d'aire, à partir du rectangle circonscrit.

Indicazioni didattiche

Comme le propose la rubrique "Exploitations didactiques" du problème Sur le mur de l'école (I) on peut reprendre le problème en classe, et exploiter l'observation fine des dispositifs des côtés sur le quadrillage; puis sensibiliser les élèves aux rotations d'un quart de tour et passer au domaine numérique dans la constatation des égalités des rapports entre les mesures des côtés des rectangles du quadrillage comme illustration de la proportionnalité.

Una autre exploitation concerne le calcul d'aires de polygones dont les sommets sont des noeuds d'un quadrillage, sans passer par les mesurages effectifs et les imprécisions de leurs approximations, mais en utilisant comme unité de mesure le carré du quadrillage. On abordera ainsi les techniques précises de calcul par additions ou soustractions d'aires de figures élémentaires. Voir par exemple le problème Comparaison de figures, 26.I.12

(c) ARMT, 2010-2024