La mucca nel frutteto (I)

Identificazione

Rally: 15.I.04, 25.I.04 ; categorie: 3, 4 ; ambiti: GM, GP
Famiglie:

• CA - Confrontare aree
• CA/P - Confrontare aree su una quadrettatura
• QUA - Lavorare su una quadrettatura
• QUA/GQ - Gestire poligoni su carta quadrettata

Remarque et suggestion

Sunto

Realizzare su un piano puntato a maglie quadrate una superficie poligonale di uguale perimetro, ma di area più grande rispetto ad una assegnata. I lati del poligono devono essere costituiti dai lati o dalle diagonali delle maglie del piano ed esattamente 8 punti del piano devono essere situati sulla linea poligonale.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Interpretare il disegno della pianta del frutteto: individuare gli alberi, i pali di diversa lunghezza e i differenti recinti.

- Osservare i contorni dei recinti e riconoscere che ci sono due tipi di pali, quelli la cui lunghezza corrisponde ad un “lato” della maglia quadrata e quelli la cui lunghezza corrisponde ad una “diagonale”. Constatare che ogni contorno dei recinti è composto da quattro pali di ognuno dei due tipi.

- Capire che “pascolare l’erba” nel recinto o “più erba da mangiare” si riferiscono all’area del recinto, che la forma del recinto può cambiare, ma il perimetro deve restare lo stesso.

- Verificare sui due recinti disegnati che il perimetro sia lo stesso e confrontare le loro aree. Per fare questo, trovare che le aree dei recinti possono esprimersi in quadrati e/o in triangoli (un triangolo è la metà di un quadrato). Per esempio, l’area del recinto di lunedì vale due quadrati interi e 4 triangoli, quella di martedì 3 quadrati interi e 4 triangoli. L’area del recinto di martedì è effettivamente più grande di quella del recinto di lunedì.

Strategie di risoluzione:

- Disegnare a caso un recinto per mercoledì di forma diversa da quella dei primi due, conservarlo se il suo perimetro è uguale a 4 pali lunghi e 4 corti. Determinare la sua area e conservarlo se essa è superiore a quella del recinto di martedì.

- Cercare di realizzare un recinto delimitato da 4 pali lunghi e 4 corti. Procedere, in seguito, come prima per l’area.

- Cercare di realizzare un recinto tenendo conto simultaneamente dei due vincoli sul perimetro e sull’area: 4 pali lunghi e 4 corti e all’interno più di 3 quadrati e 4 triangoli o una superficie corrispondente a 5 quadrati o 10 triangoli. Qualche soluzione per mercoledì (A, B, C, D) (E)

- Dare una spiegazione mostrando che c’è un conteggio di quadrati o triangoli o numero di punti interni (secondo il teorema di Pick, l’area in quadrati vale il numero dei punti interni + la metà del numero di punti sul contorno – 1. Gli alunni non possono saperlo, ma l’intuizione “più alberi ci sono all’interno, più grande è l’area” è da accettare come spiegazione).

Risultati

15.I.04

Punteggi attribuiti su 540 classi di 13 sezioni:

25.I.04

Punteggi attribuiti su 1527 classi di 19 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta completa (una figura trovata con l’area più grande e rispetto delle lunghezze dei pali), con spiegazioni chiare (a parole o disegni con conteggio dei quadrati interi e dei triangoli)
• 3 punti: Risposta completa, ma senza attribuzione dei giorni o senza spiegazione o senza conteggio dei quadrati interi e dei triangoli
• 2 punti: Una figura diversa da quella di martedì ma con la stessa area e che verifichi le condizioni sulla lunghezza del contorno
• 1 punto: Una figura con l’area più grande di quella di martedì, ma che non verifica le condizioni sul perimetro
• 0 punto: Incomprensione del problema

Par rapport au 15e rallye (La mucca di nonna Papera) les critères d’attribution des points ont été un peu assouplis. Les moyennes obtenues sont par conséquent légèrement supérieures, mais les procédures et obstacles restent les mêmes.

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