Banque de problèmes du RMT
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Comparer les aires d’un polygone dessiné sur une grille quadrillée, partagé par une ligne formée de segments du quadrillage, dont tous les sommets sont sur des intersections du quadrillage
Décontextualiser la situation : passer de la "feuille de carton" donnée par l'énoncé à la figure géométrique et comprendre que la demande sur les quantités de papier de chaque couleur se réfère aux aires des deux parties de la figure.
Décomposer, mentalement ou par le tracé de segments, les deux formes en figures plus simples ou élémentaires : carrés du quadrillage ou triangles.
Puisque les deux aires ne peuvent pas être estimées à l’oeil, il est nécessaire de passer aux mesures pour compter les unités d’aire déterminées par le quadrillage. Dans ce dénombrement, il faut procéder à une conversion d’unités : les triangles sur le bord des parties sont des demi-carrés et donc deux triangles devront être comptés pour un carré, pour obtenir:
- pour la partie verte : 52 carrés et 12 triangles soit une mesure d’aire de 58 (en carrés),
- pour la partie jaune : 51 carrés et 12 triangles soit une mesure d’aire de 57 (en carrés).
Savoirs mobilisés du domaine géométrique : concept d’unité d’aire (carré du quadrillage), équivalence et transformation d’unité d’aire, de demi-carrés (triangles rectangles isocèles) en de carrés du quadrillage; dans le domaine arithmétique : dénombrement, addition.
Il faut relever que la figure totale a un centre de symétrie qui permettrait d’éviter tous les comptages en observant seulement la ligne de partage, favorable à la partie verte.
Comme les deux figures ont le même périmètre, le conflit aire-périmètre n’apparaît pas avec la formulation de la question qui n’envisage pas d’égalité.
polygone, quadrillage, aire, conversion, triangle, carré, unité, dénombrement
Sur 1250 classes de 17 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 56 (17%) | 111 (33%) | 41 (12%) | 40 (12%) | 85 (26%) | 333 | 1.96 |
| Cat 4 | 54 (13%) | 76 (18%) | 40 (9%) | 62 (15%) | 194 (46%) | 426 | 2.62 |
| Cat 5 | 66 (13%) | 61 (12%) | 42 (9%) | 104 (21%) | 218 (44%) | 491 | 2.71 |
| Total | 176 (14%) | 248 (20%) | 123 (10%) | 206 (16%) | 497 (40%) | 1250 | 2.48 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Ce problème appartient à la famille de tâches, déjà bien nombreuse, des comparaisons d’aires sur quadrillage. Les résultats obtenus montrent un taux de réussite assez élevé en catégories 4 et 5
Les analyses des copies confirment en tout point les observations faites sur les autres problèmes de cette famille de tâches.
En particulier: Feuilles mortes, Fleur ou fusée, Le coeur de Martine, Comparaison de figures
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