Banca di problemi del RMT
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Determinare il numero di caselle di una griglia quadrata, numerate a partire da 1 in ordine crescente, da sinistra a destra per le righe dispari e da destra a sinistra per quelle pari, conoscendo i numeri di due caselle su due righe differenti della stessa colonna, di cui non si conosce la posizione.
Analisi a priori:
- Comprendere la regola di numerazione delle caselle a partire dall’esempio dato
- Rendersi conto che la parte intera di 140/6 è 23 e che quindi la griglia quadrata avrà più di 23 righe e colonne; costruire delle griglie semplificate: indicando per esempio i numeri nelle caselle di inizio e di fine delle righe.
Oppure chiamando n il numero di righe e colonne della griglia quadrata, rendersi conto che affinché 140 stia nella sesta riga, deve essere 5n+1≤ 140 ≤ 6n, o, analogamente, 5n ≤ 139 e 140 ≤ 6n e ricavare quindi le tre possibilità per n: 25, 26, 27.
- Controllare in quale delle griglie n×n con n = 25, 26, 27 le caselle 140 e 225 sono nella stessa colonna, per esempio scrivendo i numeri delle righe sesta e nona. Scoprire che si tratta della griglia 26×26 nella quale 140 e 225 sono entrambi al 17° posto. Questa griglia ha quindi 676 (=26×26) caselle.
Oppure:
- osservare che la prima riga inizia per 1, la seconda per 2n (per una griglia n×n), dal momento che ci si è spostati di n numeri verso destra e di n numeri verso sinistra. E così si troverà 2n+1 all’inizio della terza, 4n per la quarta, 4n+1 per la quinta, 6n per la sesta… Il numero 140 della sesta riga si trova in una colonna il cui numero è sconosciuto. Poiché, nelle righe pari, i numeri diminuiscono di 1 passando da una colonna alla seguente verso destra, sarà 140 = 6n – x, dove x indica il numero di caselle di cui ci si deve spostare verso destra. Per trovare il numero 225 della nona riga, che inizia con 8n + 1 e dove i numeri crescono di 1, occorre spostarsi verso destra di x colonne. Quindi 225 = 8n + 1 + x. Si hanno così le due equazioni: 6 n− x =140 e 8n + 1 + x = 225 dalle quali, per confronto, si deduce 14n = 364 da cui n = 26.
Oppure:
- utilizzare un foglio elettronico: fare dei tentativi con griglie di dimensioni differenti
Oppure:
- osservare la griglia data e notare che per calcolare il primo termine della quarta riga (colonna 1), si moltiplica la dimensione del quadrato (quindi 5) per 4 e che gli altri termini si calcolano aggiungendo 1 procedendo da sinistra a destra Si deduce che per calcolare quelli della sesta riga del quadrato cercato, si può fare lo stesso moltiplicando per 6. Ugualmente per la riga 8, si moltiplicherà per 8. Si può notare anche che la somma dei termini di una stessa colonna delle righe 2 e 3 è uguale a 21 (4 volte 5 più 1), quella delle colonne 4 e 5 a 41 (8 volte 5 più 1). Si può dedurre allora che la somma dei termini della riga 8 e della riga 9 situati nella stessa colonna è uguale a 16 volte la dimensione del quadrato cercato più 1. Ciò comporta che la somma dei termini 140 e 225 è uguale a 14 volte (16 volte meno 2 volte, la differenza tra le righe 6 e 8) la dimensione di questo quadrato più 1. Si ha: 140 + 225 = 365; 365 – 1 = 364; 364 : 14 = 26. La dimensione del quadrato cercato è 26 e il numero della casella è 676.
nombre naturel, suite, coordonnées, algèbre
Punti attribuiti su 398 classi di 8 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 125 (62%) | 25 (12%) | 5 (2%) | 21 (10%) | 27 (13%) | 203 | 1.01 |
| Cat 6 | 87 (45%) | 32 (16%) | 11 (6%) | 29 (15%) | 36 (18%) | 195 | 1.46 |
| Totale | 212 (53%) | 57 (14%) | 16 (4%) | 50 (13%) | 63 (16%) | 398 | 1.23 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
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