Cesto di frutta (II)

Identificazione

Rally: 28.I.09 ; categorie: 5, 6, 7 ; ambiti: OPN, AL
Famiglie:

• AM - Addizionare e moltiplicare numeri naturali
• MEQ - Mettere in equazione
• MEQ/EQ1 - Risolvere un’equazione di 1° grado

Remarque et suggestion

Sunto

Trovare due numeri naturali, uno doppio dell’altro, tali che la somma delle loro metà sia 36.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Dalla proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto capire che se Tommaso regala la metà delle sue mele e delle sue pere, regala la metà dei suoi frutti (n/2+m/2=1/2 (n+m)) e quindi il numero dei frutti restanti (36) corrisponde alla metà del numero dei frutti raccolti. Dedurre che ha raccolto 72 frutti.

- Dedurre dall’enunciato che i numeri di mele e pere devono essere pari per poterne prendere la metà. Il problema consiste allora nella ricerca di due numeri pari, di cui uno sia doppio dell’altro e la cui somma sia 72.

- Comprendere che è nota la relazione tra i numeri di pere e di mele, che tale relazione si mantiene anche passando alle loro metà (n/2 e 2n/2 sono l’uno il doppio dell’altro) e che quindi si possono anche cercare due numeri uno doppio dell’altro la cui somma sia 36 e poi, per trovare il numero di frutti raccolti da Tommaso, si moltiplicano per 2 i risultati ottenuti.

- La ricerca è facilitata dalla considerazione che si può partire dalla media aritmetica (18) dei numeri aventi somma 36. E controllare che uno sia doppio dell’altro. Scartare quindi le coppie (18,18), (17,19), (16,20), (15,21), (14,22), (13,23), accettare (12,24) e scartare (11, 25), (10,26), … (2,34) e (1,35).

Oppure

- Procedere per tentativi: scegliere un numero di pere o di mele (in questo caso deve essere un numero pari), determinare il numero di mele (doppio) o di pere (metà) e fare la somma di questi numeri, confrontare il risultato con 72 o 36. I tentativi possono essere organizzati oppure no e possono essere fatti ricorrendo ad una rappresentazione, per esempio attraverso segmenti o rettangoli.

Oppure

- Dedurre, dal fatto che il numero delle mele è il doppio del numero delle pere, che il numero delle pere rappresenta la terza parte del numero totale dei frutti. Determinare prima il numero delle pere dividendo per 3 il 72 o il 36, poi il numero delle mele.

- Concludere che ci sono 24 pere e 48 mele.

Nozioni matematiche

numero naturale, somma, doppio, differenza, metà

Risultati

28.I.09

Punti attribuiti su 3102 classi di 16 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori :

• 4 punti: Risposta corretta (48 mele e 24 pere), con spiegazioni chiare (viene esplicitato sotto forma di testo o per mezzo di uno schema che il numero totale dei frutti è 72 o che la somma della metà del numero delle mele e della metà del numero delle pere è 36; per esempio è scritto: « abbiamo fatto dei tentativi» con presenza di calcoli per la doppia soluzione o indicazione che il numero delle pere è la terza parte del numero totale e relativo calcolo).
• 3 punti: Risposta corretta ma spiegazione parziale (manca uno dei punti indicati nel punteggio 4)
• 2 punti: Risposta corretta senza spiegazioni né calcoli o soltanto la verifica
  oppure risposta errata (procedura corretta ma errore di calcolo con risposta coerente ai calcoli effettuati o scambiati i due tipi di frutta)
• 1 punto: Inizio di ricerca corretta (presenza di calcoli che attestano la comprensione delle condizioni: relazioni tra il numero delle mele e delle pere e somma dei due numeri uguale a 36 o 72)
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Procedure

La strategia per tentativi, più o meno organizzati, è stata la più utilizzata in tutte le categorie. C’è chi ha pianificato bene i tentativi partendo dalle pere o dalle mele e dalla media dei frutti rimasti (36:2), tenendo sotto controllo la somma 36 e le relazioni fra i frutti.

La strategia del dividere per 3, spesso affiancata da una rappresentazione grafica (i frutti vengono rappresentati con segmenti, quadratini, rettangoli,…), è stata utilizzata in tutte le categorie.

Ci sono state anche strategie originali:

a. disegnare le mele (2 unità) in numero doppio delle pere (1 unità), poi individuare, sul disegno, la metà delle mele e la metà delle pere, indicandola come “rimanente 36”.

Successivamente, sempre dal disegno, dedurre che tale quantità corrisponde ad 1,5 (1,5 unità), per poi scrivere:

36:1,5 = 24

24×3 = 72 (Tot. Frutta)

24 = (pere)

Probabilmente ragionando sul fatto che l’intero è suddivisibile in 3 parti e 1,5 = 3/2 è la sua metà. I 36 frutti rimasti sono rappresentati da 1 intero e mezzo. Dividere 36 per 1,5 è come fare 36×2/3 = 24 cioè dividere 36 in tre parti e prenderne 2 che rappresentano proprio il numero delle pere o la metà delle mele.

b. utilizzare le frazioni e le frazioni complementari.

Ostacoli ed errori

Nella quasi totalità degli elaborati si dà per scontato che la relazione “mele doppio delle pere” si mantenga anche ragionando sulle loro metà e che la soluzione sia unica, senza rendersi conto che queste asserzioni vanno invece motivate.

In alcuni casi la strategia del dividere per 3, pur portando alla soluzione giusta, ha fato emergere un errore piuttosto grossolano sulla motivazione di tale divisione: gli allievi si sono riferiti al fatto che i protagonisti sono 3 bambini e non al fatto che le mele sono il doppio delle pere e che, quindi, il totale dei frutti (iniziali o rimanenti) debba essere diviso in tre parti.

Indicazioni didattiche

1. Riflettere sul concetto matematico in gioco: distributività della somma rispetto al prodotto, in particolare sul fatto che la metà (un n-esimo) di una somma è uguale alla somma delle metà (degli n-esimi) e che le relazioni moltiplicative fra gli addendi si mantengono. Spesso tale concetto viene presentato fin dalle classi di scuola Primaria e ripreso nella prima classe della Secondaria di Primo grado ma solo come applicazione di una procedura aritmetica e non con esempi problematici significativi.

2. Promuovere attività sul tema dell’argomentazione: l’analisi a posteriori degli elaborati ha evidenziato come spesso

a. gli allievi usino il linguaggio grafico come una sorta di “gergo ” per comunicare solo fra “addetti” (allievi e docenti)

b. diano per scontati passaggi che invece necessitano di essere giustificati.

Sono state indicate alcune attività sperimentali i cui primi risultati, insieme a maggiori approfondimenti sulle strategie, sugli errori e sull’utilizzo in classe, sono presentati sulla Gazzetta n. 11.

Per ulteriori attività in classe si possono anche utilizzare i seguenti problemi che rispondono al criterio della classificazione anche se non al concetto evidenziato: distributività della somma rispetto al prodotto e al suo comportamento nelle situazioni moltiplicative ed additive.

Scambio di biglie (25.F.04 / cat. 3,4,5 / ambit: OPN, AL )

Le castagne di Carlo (II) (22.II.09 / cat. 5,6,7 / ambiti: OPN, PR )

Cesto di frutta (I) (28.I.02 / cat. 3,4 / ambiti OPN, AL )

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