Banca di problemi del RMT
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Suddividere 84 oggetti in tre parti, la seconda delle quali vale il doppio della prima e la terza il doppio della seconda.
Secondo le prime analisi a posteriori del Gruppo Proporzionalità, nelle categorie da 3 a 5 si trovano due procedure di risoluzione significative:
La prima procedura, che prevede tentativi ed errori, richiede all'allievo di “calcolare il doppio del numero naturale scelto come prima prova” per due volte di seguito, quindi “addizionare i tre numeri” e “confrontare questa somma con 84” per decidere se è corretta o se è necessario continuare le prove. In questo modo si ottiene la soluzione 12; 24; 48, la cui somma è 84. Il numero di prove dipende dalla prima scelta, che può essere presa a caso o già “stimata” come probabile, e poi dall'organizzazione delle prove successive, che possono essere anch'esse prese a caso o dedotte dalla precedente, aumentandola o diminuendola a seconda che la somma sia inferiore o superiore a 84.
Una seconda procedure richiede una percezione generalizzata delle relazioni tra i tre numeri e la loro somma: per una “scelta qualsiasi” del numero di arance in una delle casse, con i concetti di “unità comune” e “sostituzione” è possibile esprimere la somma (84) dei tre numeri cercati attraverso un solo numero. Partendo, ad esempio, dal numero di arance nella cassa piccola, ancora indeterminato, possiamo sapere che si troverà due volte (il doppio) nel numero della seconda cassa, poi quattro volte (il doppio del doppio) nella terza cassa e infine (per addizione) sette volte nel totale delle tre casse. Il rapporto tra sette volte questo numero, ancora indeterminato, e 84 arance è espresso dalla moltiplicazione incompleta 7 x ... = 84 o dalla divisione 84 : 7 = 12. Questa seconda procedure si colloca a un livello cognitivo molto più alto della prima; può essere definita pre-algebrica perché si basa su una quantità indeterminata (o “ancora sconosciuta”). Per accedervi, l'allievo deve fare riferimento a rappresentazioni mentali o grafiche. (Procedura retorico, che potrebbe già comparire nella cat. 4 perché si ritrova nella cat. 5 in Le prugne /25.II.11),, che è più complessa). Diagrammi o disegni sono spesso un aiuto efficace per far emergere questo tipo di procedimento.
numero naturale, divisione, moltiplicazione, addizione, scomposizione additiva, proporzionalità, distribuzione proporzionale
Punti attribuiti su 1519 classi di 18 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 198 (29%) | 123 (18%) | 108 (16%) | 141 (21%) | 117 (17%) | 687 | 1.79 |
| Cat 4 | 138 (17%) | 138 (17%) | 164 (20%) | 202 (24%) | 190 (23%) | 832 | 2.2 |
| Totale | 336 (22%) | 261 (17%) | 272 (18%) | 343 (23%) | 307 (20%) | 1519 | 2.02 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
- Ci sono stati pochissimi fogli bianchi, il che dimostra che la situazione è stata ben compresa. Anche negli elaborati che corrispondevano a una “mancata comprensione del problema”, c'erano caselle disegnate, tentativi di somma e distribuzioni.
- La maggior parte delle centinaia di elaborati analizzati ha utilizzato una procedura per tentativi ed errori.
Esempio 1
tabella di 10 righe:
5 - 10 - 15 = 30 no
6 - 12 - 18 = 36 no
...
12 - 24 - 48 = 84 si
Certains de ces tableaux ont 12 lignes et commencent par 1 x 2 = 2 x 2 = 4 x 2 + 1 = 7 suivi de 2 x 2 = 4 x 2 = 8 + 4 + 2 = 14
Esempio 2
Il primo tentativo è 20-10-5 (dal più grande al più piccolo) che dà un totale insufficiente di 35 (indicato come “NO”). Le tre tentativi successive sono rispettivamente “quattro volte”, “due volte” e “tre volte” i numeri della prima, con totali di 140, 70 e 105 che si avvicinano gradualmente a 84. La quinta prova sembra scelta con criterio, in quanto il numero 36 è compreso tra 40 e 60 nella seconda prova.
Il quinto tentativo sembra scelto con criterio, poiché il numero 36 è compreso tra 40 e 60 nella seconda e nella quarta prova, così come 84 è compreso tra 70 e 105 in queste due prove.
Tuttavia, iniziando con 36, gli allievi hanno commesso un errore per la casella centrale (28 non è la metà di 36; avrebbero dovuto scrivere 18 e poi 9 per la casella piccola). Questo errore non ha alcun effetto sul resto delle tentative, ma poiché la somma errata di 98 è maggiore di 84, la logica avrebbe imposto di iniziare il tentativo successivo con un numero minore di 36. La scelta di 48 sembra quindi aver avuto un effetto positivo.
La scelta di 48 sembra quindi essere stata fatta per caso.
Questo elaborato mostra che gli alunni padroneggiano la relazione “doppio” e il suo inverso “metà” e che organizzano le loro tentative in modo più o meno coerente. Per saperne di più sul reale livello di costruzione di queste conoscenze, sarebbe necessario parlare direttamente con loro.
In alcune occasioni, le spiegazioni non forniscono dettagli sulle operazioni, ma menzionano un gran numero di tentativi che probabilmente sono stati eseguite.
Esempio 3
Risposte 48, 24, 12
Per trovare la nostra risposta abbiamo fatto tanti tentativi e poi abbiamo scritto un numero abbastanza grande che abbiamo diviso in due e veniva il numero della cassetta media. Abbiamo ripetuto questo procedimento sul numero della cassetta media e veniva il numero della cassetta piccola
- Le procedure che prevedono la divisione per 7 sono più rare e compaiono più spesso nella categoria 4 che nella categoria 3. Si basano su rappresentazioni di segmenti o quadrati.
Esempio 4
La maggior parte delle risposte errate 14; 28; 84 derivano dalla divisione di 84 per 3 per ottenere il numero di arance nella cassetta media, senza controllare la somma.
Faire expliquer à quelques groupes leur procédure.
On peut être certain que les premiers échanges feront apparaître clairement la procédure par essais et les différentes manières de les organiser.
On peut espérer, comme l’ont montré nos premières analyses a posteriori que certains groupes auront procédé au niveau d’une compréhension plus généralisée en référence à une quantité encore indéterminée d’oranges dans une des caisses, qui deviendra une unité commune. Si cette seconde procédure n’apparaît pas encore dans le débat collectif, il faut admettre que les élèves n’ont pas encore atteint le niveau nécessaire de maturité et que, par conséquent, il ne serait pas judicieux de « l’enseigner » (selon la conception socio-constructiviste du RMT). Si elle apparaît, il est alors important que les élèves qui l’ont utilisée l’expliquent aux autres, dans leur langage.
Institutionnalisation
- Les différentes manières d’organiser les essais pour être certain qu’il n’y a qu’une solution : 12 ; 24 ; 48.
- Les règles élémentaires de l’organisation : par exemple si l’on choisit 7 oranges dans la petite caisse, le total sera 7 + 14 + 28 = 49 qui est plus petit que 84, par conséquent les essais successifs pour la petite caisse doivent être plus grands que 7.
- En cas d’apparition de la seconde procédure, insister sur une représentation graphique des quantités permettant de décrire les contenus des trois caisses et le total selon l’unité commune de la petite caisse : 1 ; 2 ; 4 ; 7. (Ces quatre nombres sont les caractéristiques de cette situation particulière des caisses d’oranges et vont préfigurer la notion de « proportionnalité »)
Structuration (construction)
Les phases précédentes, de résolution par groupes, de débat collectif et d’institutionnalisation occupent la classe durant une ou deux périodes de travail, au cours desquelles certains élèves seront actifs et d’autres (une majorité ?) se contenteront d’enregistrer des fragments de connaissances. Il faut maintenant consolider et renforcer ces connaissances pour certains, les découvrir ou redécouvrir pour d’autres. Il faut se mettre au travail et « étudier ».
- Chacun (dans son cahier par exemple) doit noter des traces précises de l’activité : une liste organisée des essais. Si l’on veut que cette liste soit considérée comme utile, aux yeux de l’élève, pour la résolution du problème particulier des caisses d’oranges, elle devrait être complète (exhaustive). Par exemple en quatre colonnes : nombres d’oranges de la petite, de la moyenne, de la grande et du total ; faisant apparaître la suite des nombres naturels, des multiples de 2, de 4 et de 7. (l’activité est certes « répétitive », mais nécessaire car les quatre ensembles de nombres le sont aussi !)
Cette liste est apparue spontanément dans quelques copies d’élèves lors de l’épreuve, elle n’était pas obligatoire mais répondait peut-être à la demande Montrez comment vous êtes arrivés à votre réponse.
- Chacun devrait aussi dessiner une représentation graphique de la situation ; par des dessins figuratifs comme l’ont fait de nombreux groupes lors de l’épreuve, mais aussi par des dessins « opératoire » (segments, carrés, cercles) qui permettent compter les unités communes.
La vérification des connaissances par la résolution d’un ou deux autre(s) problème de la Banque sur le même thème des partages proportionnels où sont indiqués ici : Titre, (rallye et catégorie), Résumé, Relations (algébriques) entre les grandeurs en jeu, Moyennes des point obtenus par catégorie.
Une photo d'Afrique (19.I.03 ; 3-4) Trouver deux nombres naturels tels que l'un est le double de l'autre et dont la somme est 36, dans un contexte d’animaux de deux espèces. a + b = 36 ; b = 2a - cat 3 / 4 : 2,4 / 2,9
Les châtaignes de Charles (I)22.II.01 ; 3-4) Calculer la somme des quatre nombres : 18, 18, la moitié de 18 et le double de 18 ; dans un contexte de récolte de châtaignes b = 2a ; c = 2b ; b = 18 ; (a + b + c + d) – (a + b + c) = 18 . - cat 3 / 4 : 2,5 / 3.1
Les autocollants (21.F.03 ; 3-4) Décomposer 90 en une somme de trois termes proportionnels à 1, 3 et 5, dans un contexte d’autocollants à répartir sur trois endroits. a + b + c = 90 ; b = 3a ; c = 5a - cat 3 / 4 : 2,3 / 2,9
Drôle de pizza (12.II.09 ; 5-6) Décomposer une pizza rectangulaire de 4 m (!) en quatre parties de longueurs C, J, O et F telles que : J est le double de C et la moitié de O, F est le quart de la partie la plus longue. a + b + c + d = 4 ; a = b/2 ; c = 2b ; d = c/4 (pas de résultats)
Toujours le double (21.II.04 ; 3-5) Chercher à décomposer 100, ou sinon le plus grand nombre naturel inférieur à 100, en trois nombres proportionnellement à 1, 2 et 4; dans un contexte de billes à répartit dans trois boîtes. a + b + c < 100 ; b = 2a ; c = 2b - cat 3 / 4 / 5 : 1,4 / 2,0 / 2,5
Les châtaignes de Charles (II) (22.II.09 ; 5-7) Décomposer 81 en une somme de quatre nombres proportionnellement à 1, 2, 4 et 2, dans un contexte de récolte de châtaignes. a + b + c + d = 81 ; b = 2a ; c = 2b ; d = c/2 - cat 5 / 6 / 7 : 2,0 / 2,0 / 2.5
On peut espérer que, après cette exploitation du problème Oranges, les élèves conserveront une mémoire d’une situation de répartition proportionnelle (même si le mot « proportionnelle » n’est pas utilisé car nettement prématuré), l’idée d’une organisation d’essais ou d’une unité commune, ainsi qu’une sensibilisation aux ensembles de multiples (de 2, 4 et 7) ! Tout ceci au cours d’une semaine de travail en mathématiques.
(c) ARMT, 2022-2025