Banca di problemi del RMT
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Suddividere 84 oggetti in tre parti, la seconda delle quali vale il doppio della prima e la terza il doppio della seconda.
Secondo le prime analisi a posteriori del Gruppo Proporzionalità, nelle categorie da 3 a 5 si trovano due procedure di risoluzione significative:
La prima procedura, che prevede tentativi ed errori, richiede all'allievo di “calcolare il doppio del numero naturale scelto come prima prova” per due volte di seguito, quindi “addizionare i tre numeri” e “confrontare questa somma con 84” per decidere se è corretta o se è necessario continuare le prove. In questo modo si ottiene la soluzione 12; 24; 48, la cui somma è 84. Il numero di prove dipende dalla prima scelta, che può essere presa a caso o già “stimata” come probabile, e poi dall'organizzazione delle prove successive, che possono essere anch'esse prese a caso o dedotte dalla precedente, aumentandola o diminuendola a seconda che la somma sia inferiore o superiore a 84.
Una seconda procedure richiede una percezione generalizzata delle relazioni tra i tre numeri e la loro somma: per una “scelta qualsiasi” del numero di arance in una delle casse, con i concetti di “unità comune” e “sostituzione” è possibile esprimere la somma (84) dei tre numeri cercati attraverso un solo numero. Partendo, ad esempio, dal numero di arance nella cassa piccola, ancora indeterminato, possiamo sapere che si troverà due volte (il doppio) nel numero della seconda cassa, poi quattro volte (il doppio del doppio) nella terza cassa e infine (per addizione) sette volte nel totale delle tre casse. Il rapporto tra sette volte questo numero, ancora indeterminato, e 84 arance è espresso dalla moltiplicazione incompleta 7 x ... = 84 o dalla divisione 84 : 7 = 12. Questa seconda procedure si colloca a un livello cognitivo molto più alto della prima; può essere definita pre-algebrica perché si basa su una quantità indeterminata (o “ancora sconosciuta”). Per accedervi, l'allievo deve fare riferimento a rappresentazioni mentali o grafiche. (Procedura retorico, che potrebbe già comparire nella cat. 4 perché si ritrova nella cat. 5 in Le prugne /25.II.11),, che è più complessa). Diagrammi o disegni sono spesso un aiuto efficace per far emergere questo tipo di procedimento.
numero naturale, divisione, moltiplicazione, addizione, scomposizione additiva, proporzionalità, distribuzione proporzionale
Punti attribuiti su 1519 classi di 18 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 198 (29%) | 123 (18%) | 108 (16%) | 141 (21%) | 117 (17%) | 687 | 1.79 |
| Cat 4 | 138 (17%) | 138 (17%) | 164 (20%) | 202 (24%) | 190 (23%) | 832 | 2.2 |
| Totale | 336 (22%) | 261 (17%) | 272 (18%) | 343 (23%) | 307 (20%) | 1519 | 2.02 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
- Ci sono stati pochissimi fogli bianchi, il che dimostra che la situazione è stata ben compresa. Anche negli elaborati che corrispondevano a una “mancata comprensione del problema”, c'erano caselle disegnate, tentativi di somma e distribuzioni.
- La maggior parte delle centinaia di elaborati analizzati ha utilizzato una procedura per tentativi ed errori.
Esempio 1
tabella di 10 righe:
5 - 10 - 15 = 30 no
6 - 12 - 18 = 36 no
...
12 - 24 - 48 = 84 si
Alcune di queste tabelle hanno 12 righe e cominciano per 1 x 2 = 2 x 2 = 4 + 2 + 1 = 7 seguite da 2 x 2 = 4 x 2 = 8 + 4 + 2 = 14
Esempio 2
Il primo tentativo è 20 - 10 - 5 (dal più grande al più piccolo) che dà un totale insufficiente di 35 (indicato come “NO”). Le tre tentativi successive sono rispettivamente “quattro volte”, “due volte” e “tre volte” i numeri della prima, con totali di 140, 70 e 105 che si avvicinano gradualmente a 84. La quinta prova sembra scelta con criterio, in quanto il numero 36 è compreso tra 40 e 60 nella seconda prova.
Il quinto tentativo sembra scelto con criterio, poiché il numero 36 è compreso tra 40 e 60 nella seconda e nella quarta prova, così come 84 è compreso tra 70 e 105 in queste due prove.
Tuttavia, iniziando con 36, gli allievi hanno commesso un errore per la casella centrale (28 non è la metà di 36; avrebbero dovuto scrivere 18 e poi 9 per la casella piccola). Questo errore non ha alcun effetto sul resto delle prove, ma poiché la somma, errata, di 98 è maggiore di 84, la logica avrebbe imposto di iniziare il tentativo successivo con un numero minore di 36. La scelta di 48 sembra quindi dovuta al caso.
La scelta di 48 sembra quindi essere stata fatta per caso.
Questo elaborato mostra che gli alunni padroneggiano la relazione “doppio” e il suo inverso “metà” e che organizzano le loro tentative in modo più o meno coerente. Per saperne di più sul reale livello di costruzione di queste conoscenze, sarebbe necessario parlare direttamente con loro.
In alcune occasioni, le spiegazioni non forniscono dettagli sulle operazioni, ma menzionano un gran numero di tentativi che probabilmente sono stati eseguite.
Esempio 3
Risposte 48, 24, 12
Per trovare la nostra risposta abbiamo fatto tanti tentativi e poi abbiamo scritto un numero abbastanza grande che abbiamo diviso in due e veniva il numero della cassetta media. Abbiamo ripetuto questo procedimento sul numero della cassetta media e veniva il numero della cassetta piccola
- Le procedure che prevedono la divisione per 7 sono più rare e compaiono più spesso nella categoria 4 che nella categoria 3. Si basano su rappresentazioni di segmenti o quadrati.
Esempio 4
La maggior parte delle risposte errate 14; 28; 84 derivano dalla divisione di 84 per 3 per ottenere il numero di arance nella cassetta media, senza controllare la somma.
Far spiegare ai gruppi la procedura utilizzata.
Possiamo essere certi che i primi scambi faranno apparire con chiarezza la procedura per tentativi e i modi diversi di organizzarli.
Possiamo sperare, come hanno mostrato le nostre prime analisi a posteriori che certi gruppi avranno proceduto ad un livello di comprensione più generalizzato indicando una quantità di arance ancora indeterminata in una delle casse, che diventerà l’unità comune. Se questa seconda procedura non comparisse ancora nel dibattito collettivo, bisognerà ammettere che gli allievi non hanno ancora raggiunto il livello di maturità e che, di conseguenza, non sarebbe utile “insegnarglielo” (secondo la concezione socio-costruttivista del RMT). Se invece compare, è importante che gli allievi che l’hanno utilizzata la spieghino agli altri, nel loro linguaggio.
Istituzionalizzazione
- I differenti modi di organizzare i tentativi per essere certi che la soluzione sia unica: 12; 24; 48.
- Le regole elementari dell’organizzazione : ad esempio se si è scelto 7 arance nella cassa piccola, il totale sarà 7 + 14 + 28 = 49 che è minore di 84, di conseguenza i tentativi seguenti, per la cassa piccola, devono essere maggiori di 7.
- Nel caso compaia la seconda procedura, insistere su una rappresentazione grafica delle quantità che permetta di descrivere i contenuti delle tre casse e il totale secondo l’unità comune della cassa piccola : 1 ; 2 ; 4 ; 7. (Questi quattro numeri sono caratteristici di questa situazione particolare delle casse di arance e prefigurano la nozione di « proporzionalità »).
Strutturazione (costruzione)
Le fasi precedenti, di risoluzione per gruppi, di dibattito collettivo e di istituzionalizzazione occupano la classe durante uno o due periodi di lavoro nel corso dei quali alcuni allievi saranno attivi mentre altri (una maggioranza?) si accontenteranno di registrare dei frammenti di conoscenze. Occorre ora consolidare e rinforzare queste conoscenze per alcuni, scoprirle o riscoprirle per altri. Bisogna mettersi a lavoro e « studiare ».
- Ognuno (nel proprio quaderno, per esmpio) deve tenere le tracce precise dell’attività: una lista organizzata di tentativi. Se si vuole che questa lista sia considerata utile, agli occhi dell’allievo, per la risoluzione del problema particolare delle casse di arance, essa dovrebbe essere completa (esaustiva). Per esempio in quattro colonne: numero di arance della cassa piccola, della media, della grande e del totale; facendo apparire la sequenza dei numeri naturali, dei multipli di 2, di 4, e di 7. (l’attività è certamente “ripetitiva” ma necessaria poiché anche i quattro insiemi di numeri lo sono!)
Questa lista è apparsa spontaneamente in alcune copie degli allievi dopo la prova, non era obbligatoria ma rispondeva forse alla domanda Mostrate come siete arrivati alla vostra risposta.
- Ciascuno dovrebbe anche disegnare una rappresentazione grafica della situazione>; attraverso figure come hanno fatto molti gruppi nella prova, ma anche per mezzo di rappresentazioni “operative” (segmenti, quadrati, cerchi) che permettano di contare le unità comuni.
La verifica delle conoscenze per mezzo della risoluzione di uno o due altri problemi della Banca sullo stesso contenuto di ripartizione proporzionale, dove sono indicati così: Titolo, (rally e categoria), Sunto, Relazioni (algebriche) tra le grandezze in gioco, Media dei punti ottenuti per categoria.
Una foto d'Africa (19.I.03 ; 3-4) Trovare due numeri naturali tali che uno sia il doppio dell'altro e la cui somma sia 36, nel contesto degli animali di due specie
Le castagne di Carlo(I) 22.II.01 ; 3-4) Calcolare la somma dei quattro numeri: 18, 18, metà di 18 e doppio di 18; in un contesto di raccolta delle castagne. - cat 3 / 4 : 2,5 / 3.1
Adesivi (21.F.03 ; 3-4) Scomponi 90 in una somma di tre termini proporzionali a 1, 3 e 5, in un contesto di adesivi da distribuire su tre punti. - cat 3 / 4 : 2,3 / 2,9
Pizza divertente 12.II.09 ; 5-6) Scomponi una pizza rettangolare di 4 m (!) in quattro parti di lunghezza C, J, O e F in modo che: J sia due volte C e metà O, F sia un quarto della parte più lunga.
Sempre il doppio (21.II.04 ; 3-5) Cercare di decomporre 100, o comunque il numero naturale più grande inferiore a 100, in tre numeri proporzionalmente a 1, 2 e 4; in un contesto di palle da distribuire in tre caselle. - cat 3 / 4 / 5 : 1,4 / 2,0 / 2.5
Le castagne di Carlo (II) (22.II.09 ; 5-7) Scomporre 81 in una somma di quattro numeri proporzionalmente a 1, 2, 4 e 2, nel contesto della raccolta delle castagne. - cat 5 / 6 / 7 : 2,0 / 2,0 / 2.5
Possiamo sperare che, dopo questo utilizzo del problema Arance, gli allievi conserveranno la memoria di una situazione di ripartizione proporzionale (anche se la parola “proporzionale” non è stata utilizzata perché nettamente prematura), l’idea di una organizzazione di tentativi o di unità comune, oltre che un’introduzione all’insieme dei multipli (di 2 di 4 e di 7)! Tutto ciò nel corso di una settimana di lavoro in matematica.