Rose e tulipani

Identificazione

Rally: 23.F.18 ; categorie: 9, 10 ; ambito: OPN
Famiglie:

• DIV - Ricercare dei multipli e/o dei divisori
• MEQ - Mettere in equazione
• MEQ/EQL - Risolvere un sistema di equazioni lineari
• MUL - Moltiplicare numeri naturali ed effettuare divisioni con resto

Remarque et suggestion

Sunto

Impostazione di un’equazione lineare in due incognite di cui si ricercano le soluzioni intere (equazione diofantea) in un intervallo prestabilito.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Comprendere che i fiori rimanenti corrispondono a 4 mazzi di rose e a 3 mazzi di tulipani e che il numero di tulipani rimanenti è uguale al numero delle rose rimanenti aumentato di 4.

- Comprendere che è preferibile ragionare sul numero di fiori per mazzo.

Risoluzione aritmetica:

Considerare che il numero di rose rimanenti è un multiplo di 4 e che il numero dei tulipani rimanenti è un multiplo di 3. Il problema si riduce a cercare un multiplo di 3 che, aumentato di 4 sia anche un multiplo di 4, cioè un multiplo di 3 che sia anche multiplo di 4, e ciò permette di ottenere il numero di fiori all’inizio della giornata, vicino (ma minore) a 400.

Elencare i multipli di 4 e quelli di 3:

  4   8  12  16  20  24  28  32  36  40  44  48  …
  3   6   9  12  15  18  21  24  27  30  33  36  39  42  45  48  …

Ricercare i numeri comuni ai due elenchi e scegliere il multiplo di 4 precedente.

Individuare così le coppie possibili (8, 12), (20, 24), (32, 36), (44, 48) che corrispondono ai mazzi formati rispettivamente così (2 rose, 4 tulipani), (5 rose, 8 tulipani), (8 rose, 12 tulipani) e quindi i numeri iniziali di rose, di tulipani e di fiori totali, sono: (30 rose, 88 tulipani, 118 fiori), (75 rose, 176 tulipani, 251 fiori), (120 rose, 264 tulipani, 384 fiori), (165 rose, 352 tulipani, 517 fiori). Concludere che ci sono 120 rose e 264 tulipani.

Risoluzione algebrica:

Se si indica con x il numero di rose per mazzo e con y quello dei tulipani per mazzo si ha che il numero delle rose avanzate è 4x, quello dei tulipani rimasti è 3y e che deve essere soddisfatta la relazione 4x+4=3y.

L’equazione può essere risolta per tentativi, organizzati o no, assegnando a x rispettivamente i valori 1, 2, 3, 4…verificando poi che il primo membro sia un multiplo di 3. Si determinano così le seguenti coppie di soluzioni (2, 4); (5, 8); (8, 12); (11, 16); (14, 20) in corrispondenza delle quali si può calcolare il numero dei fiori che Silvia aveva in negozio:

• 30 rose e 88 tulipani, 118 in tutto, troppo pochi;
• 75 rose e 176 tulipani, 251 in tutto, troppo pochi;
• 120 rose e 264 tulipani, 384 in tutto che si avvicina a 400;
• 165 rose e 352 tulipani, 517 in tutto, troppi!

- Concludere dunque che Silvia aveva all’inizio 120 rose e 264 tulipani.

Oppure, con sistema misto: 4x+4=3y; 15x+22y < 400 si ottiene x < 8,361 che ci dice che le rose per mazzo sono 8 e i tulipani per mazzo sono 12

Risultati

23.F.18

Su 49 classi di 8 sezioni partecipanti alla prova finale del 23° RMT:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (120 rose e 264 tulipani) con spiegazione chiara e completa da cui si evidenzia l’unicità della soluzione
• 3 punti: Risposta corretta, ma con spiegazioni poco chiare oppure con solo verifica
  oppure risposta 384 fiori con spiegazione chiara e completa, che mostra l’unicità della soluzione
• 2 punti: Procedimento corretto, ma con un errore di calcolo
  oppure risposta 75 rose e 176 tulipani con spiegazioni chiare
  oppure risposta “8 e 12”, che indica rispettivamente il numero di rose e di tulipani per mazzo
• 1 punto: Risposta corretta senza alcuna spiegazione
  oppure inizio di ragionamento corretto
• 0 punto: Incomprensione del problema

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