Trois amis et leurs dessins

Identification

Rallye: 20.II.06 ; catégories: 4, 5, 6 ; domaine: GP
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/P - Comparer des aires sur un quadrillage
• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• LA/UA - Traiter des unités d'aires
• QUA - Travailler sur un quadrillage
• QUA/GQ - Traiter des polygones sur quadrillages

Remarque et suggestion

Résumé

Rechercher, comparer des périmètres et aires de 3 figures sur un quadrillage et dessiner une figure d'aire et de périmètre donnés.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori:

- Observer les périmètres des trois figures et reconnaître qu'il y a deux types de segments, ceux dont la longueur correspond à un côté (l) d'un « carré » et ceux dont la longueur correspond à sa diagonale (d).

- Pour chaque figure, compter ces deux types de segments et trouver leurs périmètres : l’octogone, 4 d + 4 l ; le pentagone, 2 d + 8 l ; l’hexagone : 2 d + 8 l, ou faire une mesure avec une règle graduée.

- Trouver les aires des trois figures en comptant les carrés (q) et les demi-carrés : l’octogone, 7 q ; le pentagone, 7 q ; l’hexagone, 5 q, ou comparer les aires par découpages et superpositions.

- En conclure que la figure d'Anne est le pentagone.

- Donner une explication qui montre comment sont déterminées les aires les périmètres.

- Pour dessiner une figure ayant la même aire et le même périmètre que celle d'Anne, chercher une disposition de 2 segments de type d et 8 segments de type l qui donne une aire de 7 q. Il y a diverses figures possibles, comme, par exemple les suivantes :

Notions mathématiques

figures fermées, comparaisons de mesures, longueur, aire, diagonale d'un carré, unité d’aire

Résultats

20.II.06

sur 1730 classes de 22 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse complète : la figure d’Anne (le pentagone) est reconnue, avec des explications correctes et complètes, et dessin d’une figure ayant les mêmes caractéristiques que celle d’Anne
• 3 points: Réponse donnant la figure d’Anne, avec des explications incomplètes et dessin correct de la quatrième figure
  ou la figure d'Anne reconnue avec des explications claires, mais avec un dessin de la quatrième figure partiellement correct (seulement pour l’aire ou seulement pour le périmètre)
• 2 points: Réponse partielle avec deux des trois conditions précédentes (par exemple reconnaissance de la figure d’Anne avec une explication sans dessin,
  ou reconnaissance de la figure d’Anne avec un dessin correct sans explication)
• 1 point: Reconnaissance de la figure d’Anne sans explication et sans dessin
• 0 point: Incompréhension du problème

Dans ce problème emblématique de la confrontation entre l'aire et le périmètre, les moyennes de points évoluent peu d'une catégorie à l'autre et l'on observe une répartition équilibrée de l’occurrence des points.

Procédures, obstacles et erreurs relevés

L’obstacle principal, comme signalé dans la tâche de résolution, est la distinction entre côté et diagonale des carrés de la grille du point de vue de leurs longueurs. Cet obstacle n'empêche pas d'identifier la figure d'Anne sans se référer aux longueurs (de nombreux élèves expliquent que "la figure d'Anne a la même aire que celle de Béa et le même périmètre que celle de Charles car elle est formée de 7 carreaux comme celle de Béa et "a 10 côtés" comme celle de Charles). Mais la permanence de l'obstacle empêche de répondre à la deuxième demande puisque, comme les deux types de segments en jeu ne sont pas distingués, pour dessiner une figure avec la même aire et le même périmètre que celle d'Anne (pentagone) on ne cherchera pas consciemment une disposition avec 2 segments de type "diagonale" et 8 segments de type "côté" pour obtenir une aire de 7 carreaux.

Dans le cas d'une recherche par les mesures directes des côtés des figures avec la règle graduée, la conscience que les longueurs des deux types de segments ont des longueurs différentes est occultée par l'imprécision du procédé de comparaison, les mesures ne diffèrent que de quelques millimètres et ne permettent pas de détecter les différences.

Exploitations didactiques

Ce problème fait appel, d'une part, à la comparaison de figures soit selon leur périmètre soit selon leur aire; d'autre part il demande la construction d'une nouvelle figure dont le périmètre comme l'aire doivent être égaux à ceux d'une figure donnée. Il permet donc de se confronter simultanément à deux problématiques complémentaires: la comparaison et la construction. La construction correct d'une ou plusieurs nouvelles figures n'est possibile que si la différence de longueur entre un côté et une diagonale d'un carré est perçue.

Le problème peut pourtant être utilisé pour les élèves les plus jeunes, comme approche de des propriétés du carré du point de vue de la longueur de ses éléments alors que, pour les plus grand, il s'agira de mettre en oeuvre ou de vérifier la maîtrise de ces propriétés.

Il pourrait être intéressant de présenter le problème sur un quadrillage de plus grandes dimensions de manière à ce que, en mesurant les côtés à la règle graduée, les élèves perçoivent que les deux types de segments n'ont pas la même longueur.

Voir aussi La vache dans le verger (I) (15.I.04)

Pour aller plus loin

Pour introduire un nouveau savoir, dans ce cas la distinction des longueurs entre un côté et une diagonale de carré, il n'est pas suffisant de résoudre un seul problème. En effet, le problème “Trois amis et leurs dessins” fait partie d'une famille de problèmes qui font intervenir la comparaison de longueurs sur des quadrillages. L’insieme di tali problemi potrebbe costituire una sorta di approccio e poi rafforzamento del nuovo sapere in gioco.

Par exemple:

• La traversée du quadrillage
• Combien de distances
• Découpage de triangles

Bibliographie

Crociani C., Salomone L.: 2001, ‘Un problema di tipo geometrico: Attraverso la quadrettatura’, in Grugnetti, Jaquet, Crociani, Doretti, Salomone (Eds.) RMT: evoluzione delle conoscenze e valutazione dei saperi matematici, Atti delle giornate di studio sul Rally matematico transalpino, Siena 1999 - Neuchâtel 2000, Università di Siena, IRDP di Neuchâtel, 118-128.

Crociani C:, Doretti L., Grugnetti L.: 2012, ‘Difficoltà nel confronto di lunghezze’, La Gazzetta di Transalpino), No 2, 72-84. (Versione francese ‘Difficultés dans la comparaison de longueurs’, 85-98).http://www.armtint.org/fr/le-gazzette-di-transalpino/numero-2/viewcategory/11-gazzetta-n-2-articoli-gazette-n-2-articles

Jaquet F.: 2009, ‘La finale internazionale du 16e RMT, problèmes et analyse’, in L. Grugnetti, F. Jaquet (Eds) Rally Matematico Transalpino e intercultura, ARMT, SCNAT, 225-253.

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