Banca di problemi del RMT
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- Esaminare i quadrilateri uno ad uno e constatare che il primo è un rettangolo, da colorare di rosso, perché i suoi lati sono disposti sulla quadrettatura (lati opposti paralleli e congruenti e angoli retti facilmente individuabili come tali).
- La figura 2, i cui lati sono paralleli a due a due, può essere confrontata con la prima per arrivare a stabilire che è un parallelogramma non rettangolo da colorare di verde.
- Le figure 3 e 4, che non hanno entrambe le coppie di lati opposti paralleli, non sono parallelogrammi e saranno colorate di giallo.
- Per la figura 5, i cui lati sono paralleli a due a due, bisogna guardare bene o utilizzare una squadretta per constatare che è un parallelogramma non rettangolo da colorare di verde. Un ragionamento sugli angoli permette di provarlo:
- Constatare che le figure 6 e 7 non sono parallelogrammi perché hanno i lati opposti non paralleli e quindi saranno gialle.
- Analoghe argomentazioni mostrano che la figura 8 è un rettangolo rosso, mentre la figura 9 è un parallelogramma non rettangolo verde.
- La figura 10 è visibilmente un trapezio che non è un parallelogramma e quindi è da dipingere di giallo.
- Per quanto riguarda le aree: le figure da prendere in considerazione sono visibilmente le figure 4, 7, 9 e 10. Capire che è inutile calcolare le aree delle altre figure.
La misura dell’area della figura 4 è 9 (in quadratini), per esempio: 6 quadratini interi, un semirettangolo di due quadratini e due semirettangoli di 3 quadratini.
La misura dell’area della figura 7 è 10,5 (in quadratini), per esempio: considerare il rettangolo “circoscritto” che contiene 20 quadratini meno: un semirettangolo da 5, un semirettangolo da 2, un semirettangolo da 8 e un rettangolo da 2.
La misura dell’area del parallelogramma 9 misura 12 (in quadratini), per esempio: la sua diagonale principale divide in due triangoli uguali di base 6 lati di quadrato unitario e di altezza 2.
La misura dell’area del trapezio 10 misura 12 (in quadratini), per esempio: il suo lato obliquo dimezza un rettangolo di 8 quadratini.
- Concludere che le figure 1 e 8 saranno dipinte di rosso, le figure 2, 5 e 9 di verde e le figure 3, 4, 6, 7 e 10 di giallo.
- Luigi e Lucilla dovranno dipingere i quadrilateri 9 e 10.
Punteggi attribuiti su 1984 classi di 21 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 276 (32%) | 270 (32%) | 167 (20%) | 112 (13%) | 25 (3%) | 850 | 1.22 |
| Cat 7 | 135 (20%) | 159 (23%) | 180 (26%) | 148 (22%) | 63 (9%) | 685 | 1.77 |
| Cat 8 | 105 (23%) | 76 (17%) | 123 (27%) | 105 (23%) | 40 (9%) | 449 | 1.78 |
| Totale | 516 (26%) | 505 (25%) | 470 (24%) | 365 (18%) | 128 (6%) | 1984 | 1.54 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Il gruppo “geometria piana” del RMT ha iniziato una ricerca sul concetto di rettangolo ed ha constatato che, contrariamente a ciò che si potrebbe pensare, numerosi allievi sono incapaci di riconoscere un rettangolo laddove non si presenti in una posizione “convenzionale”. E quando si chiede loro di completare un rettangolo, di cui sia dato un lato, spesso costruiscono un parallelogramma non rettangolo, cioè non tengono conto del criterio degli angoli retti.(Si veda per esempio il problema Il tavolo da sportare)
In questo problema, non solo è nodale la distinzione tra rettangolo e parallelogramma non rettangolo, ma anche la caratterizzazione degli altri quadrilateri tramite le proprietà che le definiscono. A questo di aggiunge anche la problematica dell’area per pavimentazione o conteggio. Le conoscenze mobilizzate sono infatti evidentemente il rettangolo, il parallelogramma e le loro proprietà: parallelismo, congruenza e perpendicolarità dei lati; così come “gli strumenti” per validare tali proprietà: gli strumenti del disegno geometrico per un primo controllo “visivo”, le conoscenze sulle traslazioni e le rotazioni sul piano per una procedura matematica.
L’errore più frequente, per circa la metà degli elaborati esaminati, è considerare il quinto quadrilatero dalla sinistra come un rettangolo, senza rendersi conto che la sua larghezza è la diagonale di un rettangolo (1 x 2) e che la sua lunghezza è la diagonale di un rettangolo (1 x 3). (Si veda Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati) Un altro errore a proposito del riconoscimento dei quadrilateri è considerare il terzo dalla sinistra come un parallelogramma. Il confronto dei risultati riportati più sopra con quelli del problema Sul muro della scuola (I) dove è richiesto solo il riconoscimento dei quadrilateri, mostra che la distinzione rettangolo/parallelogramma è un ostacolo che permane al di là delle categorie 4 e 5.
Nella seconda parte del problema, che riguarda la determinazione delle aree, si ritrovano le difficoltà riscontrare molto sovente fino in categoria 8: - scegliere il quadratino della quadrettatura come unità d’area, mentre questa scelta sembrerebbe evidente. Si riscontrano numerose misurazioni in centimetri e millimetri le cui imprecisioni non permettono di concludere in maniera corretta. – Raggruppare le parti non intere di quadratini per formare quadratini interi nelle procedure di conteggio uno ad uno. – Scomporre i poligoni in rettangoli e triangoli i cui lati sono numeri interi di lati di quadratini della quadrettatura al fine di poter “calcolare” le aree secondo le unità di lunghezza determinate. In questa procedura l’area del trapezio di destra, scomposto in un rettangolo (2 x 4) e un triangolo rettangoli anch’esso de (2×4) è determinato più facilmente rispetto a quella del parallelogramma vicino la cui scomposizione i due triangoli di “base” 6 e di “altezza” 2 non è efficace in quanto la “base” non è orizzontale e “l’altezza” non è verticale!!
Come segnalato nella rubrica “Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati”, l’area di figure come 4, 9 e 10 possono essere ottenute per addizione di aree, a partire dalla loro scomposizione in parti; gli ostacoli sono molto più elevati per quanto riguarda il calcolo dell’area della figura 7 dove gli allievi non pensano a lavorare per sottrazione d’area, a partire dal rettangolo circoscritto.
Un’altra utilizzazione riguarda il calcolo di aree di poligoni i cui vertici sono nodi di una quadrettatura, senza utilizzare le misure e le imprecisioni delle approssimazioni, ma utilizzando come unità di misura il quadretto della quadrettatura. Si approcceranno così le tecniche precise di calcolo con addizioni o sottrazioni di aree di figure elementari. Si veda per esempio il problema Confronto di figure
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