Banque de problèmes du RMT
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A partir de 10 points placés sur un réseau à maille carré, recherche de quadruplets de points formant des quadrilatères qui vérifient les propriétés caractéristiques du rectangle.
- Faire appel à ses connaissances sur le rectangle: côtés parallèles isométriques et côtés perpendiculaires.
- Rechercher des couples de segments parallèles et isométriques et repérer si pour chacun de ces couples, il existe des couples de segments isométriques qui leur sont perpendiculaires.
- Organiser un inventaire systématique en contrôlant le parallélisme de façon visuelle, et l'isométrie en utilisant le quadrillage.
rectangle, parallélisme, isométrie, perpendicularité
Points attribués sur 1417 copies de 18 sections
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 125 (23%) | 142 (26%) | 147 (27%) | 65 (12%) | 65 (12%) | 544 | 1.64 |
| Cat 6 | 157 (18%) | 218 (25%) | 306 (35%) | 61 (7%) | 131 (15%) | 873 | 1.76 |
| Cat 7 | 85 (12%) | 135 (19%) | 219 (31%) | 64 (9%) | 205 (29%) | 708 | 2.24 |
| Total | 367 (17%) | 495 (23%) | 672 (32%) | 190 (9%) | 401 (19%) | 2125 | 1.89 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
La procédure de recherche des couples de segments parallèles et isométriques est visuelle d’abord, puis analytique par contrôle à l’aide, par exemple, des instruments. On trouve ainsi qu’il n’y a pas de couples de segments parallèles aux lignes du quadrillage et qu’il n’y a que 4 couples à prendre en considération: BD et JF, BJ et DF, CE et HC, CH et EG.
On arrive ainsi à deux parallélogrammes BJFD et CHGE. Pour contrôler ensuite si les angles sont droits, il est possible d'utiliser la règle et l'équerre, le rapporteur ou recourir à une analyse fine des positions des côtés par rapport aux lignes du quadrillage. Par exemple, pour BJFD, on peut remarquer que les côtés BJ et DF suivent les nœuds du quadrillage et que ce n'est pas le cas pour les côtés BD et JF.
On retient ainsi un seul rectangle CHGE.
Le tableau des résultats montre que seulement un quart (3 et 4 points) des élèves de degrés 5 et 6 donnent CHGE comme unique rectangle, et que plus de la moitié (1 et 2 points) disent que les deux parallélogrammes sont des rectangles ou en trouvent encore un troisième.
Il y a donc de sérieux obstacles à propos de la reconnaissance de rectangles et en particulier de la distinction entre parallélogramme rectangle et parallélogramme non rectangle.
Un premier obstacle est vraisemblablement de nature ontogénétique, lié au développement des représentations de l’élève. Les modèles de référence pour le rectangle sont en général des objets à trois dimensions (table, porte, face d’un parallélépipède rectangle, ....) ; leur projection sur un plan (ombre, image forme sur la rétine) ne conservent que le parallélisme des côtés et non les angles droits : ce sont des parallélogrammes. L’enfant doit revenir de l’image, déformée par la projection, à l’objet pour reconstruire une figure du plan qui tienne compte de la perpendicularité.
Un deuxième obstacle est lié aux habitudes scolaires où le rectangle est presque toujours présenté avec ses côtés parallèles au bord de la feuille.
Un troisième obstacle, dans le cas des deux parallélogrammes « candidats », est dû à la confiance que certains élèves gardent en leur perception visuelle (en particulier de l'angle droit) même si celle-ci est approximative.
Ce problème se prête bien à une mise en commun et un débat autour des diverses propositions des élèves. Il fera surgir la nécessité de dépasser la première perception visuelle et de vérifier les propriétés du rectangle en utilisant des instruments de géométrie ou le quadrillage.
Ce travail ne pas se faire à partir d'injonction du type « prenez l'équerre » où l'initiative d'utiliser l'instrument est donnée de l'extérieur mais à partir d'une idée issue du groupe des élèves.
On peut aller aussi plus loin dans la justification, en étudiant les “composantes” horizontale et verticale des segments (en tant que diagonales de rectangles portés par les lignes du quadrillage). Il s’agit ici d’une “initiation” tout à fait naturelle au concept de pente ou à celui de vecteur et de ses composantes dans un repère.
Le problème Les 10 points fait partie d'une série de problèmes isomorphes basés sur la conservation des longueurs et sur le rôle essentiel de l'angle droit.
Les 10 points (18.I.8 – 5, 6, 7) : Trouver et construire un rectangle à partir de points sur un quadrillage
La table à déplacer (16.F.24 - 5) : Trouver sur une grille quadrillée les sommets manquant d'un rectangle dont un ou deux sommets sont donnés.
Sur le mur de l'école (I) (18.II.6 – 4, 5)
Sur le mur de l'école (II) (18.II.13 – 6, 7, 8) : Distinguer le rectangle du parallélogramme non rectangle à partir de ses propriétés caractéristiques.
Découpages de triangles (19.II.13) : Trouver les segments isométriques dont les extrémités sont des points d’intersection d’un quadrillage.
L’article « rectangle.... pas si évident, publié sur la Gazette de Transalpie n°1 traite le thème d'une façon plus approfondie. » (sur le site www.armtint.org)
Anselmo B., Bisso C., Grugnetti L.: 2011 ‘Il rettangolo...non così evidente/ Le rectangle...pas si évident”, in La Gazzetta di Transalpino/La Gazette de Transalpie, n. 1, 7-41, http://www.armtint.org/fr/le-gazzette-di-transalpino/numero-1/viewcategory/12-gazzetta-n-1-articoli-gazette-n-1-articles
Crociani C., Doretti L., Grugnetti L. : 2012 ‘Difficoltà nel confronto di lunghezze/Difficultés dans la comparaison de longueurs’, in La Gazzetta di Transalpino/La Gazette de Transalpie, n. 2, 71-98, http://www.armtint.org/fr/le-gazzette-di-transalpino/numero-2/viewcategory/11-gazzetta-n-2-articoli-gazette-n-2-articles
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