Sac de haricots

Identification

Rallye: 25.II.15 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaine: OPN
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• DIV - Rechercher des multipes et/ou des diviseurs
• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer le nombre compris entre 1400 et 1700, dont les restes des divisions de ce nombre par 2, 3, 5 et 7 sont respectivement 1, 0, 2 et 5.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Comprendre que s’agissant d’un grand nombre, il n’est pas possible de travailler avec des objets ou des dessins. Il est nécessaire d’utiliser l'écriture des nombres dans des relations numériques.

- Trouver une méthode d'élimination ou de choix qui évite de faire trop de divisions pour déterminer les restes.

- La recherche doit être faite sur tous les nombres compris entre 1400 et 1700, en éliminant successivement :

• ceux qui se terminent par un chiffre pair (0, 2, 4, 6, 8) pour respecter la deuxième condition,
• ceux qui ne sont pas divisibles par 3 pour respecter la troisième condition,
• ceux qui ne se terminent pas par 7 pour respecter la quatrième condition (le chiffre des unités d’un multiple de 5 moins 3 est 7 ou 2, qui est à éliminer d’après la deuxième condition).

- Arrivé à ce point, il reste à écrire tous les nombres impairs compris entre 1400 et 1700 qui se terminent par le chiffre 7 et qui sont multiples de 3. On peut réduire l’ensemble des nombres à examiner pour trouver les multiples de 3 (si d et c désignent les chiffres des dizaines et des unités du nombre cherché : 1 + c + d + 7 est multiple de 3 avec c + d ≤ 18). On obtient : 1407, 1437, 1467, 1497, 1527, 1557, 1587, 1617, 1647, 1677.

- Trouver enfin que le nombre 1587 est le seul qui réponde aux cinq conditions : (226 x 7) + 5 = 1587.

Ou bien:

- écrire tous les multiples de 7 augmentés de 5 entre 1400 et 1700, éliminer les nombres pairs et conserver seulement ceux qui finissent par 7 (1447, 1517, 1587, 1657) pour arriver à conserver seulement 1587, qui est l'unique nombre multiple de 3.

Notions mathématiques

nombre naturel, produit, multiplication, multiple, reste, division

Résultats

25.II.15

Points attribués, sur 1120 classes de 19 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (1587) avec les détails d’une recherche systématique
• 3 points: Réponse correcte (1587) avec les détails d’une recherche non exhaustive
• 2 points: Réponse correcte sans explications ou réponse fausse à cause d’une erreur de calcul dans une recherche systématique
• 1 point: Début de recherche correcte
• 0 point: Incompréhension du problème

Commentaires

Le contexte est clair, la tâche et la question bien évidentes, mais on peut s’étonner des moyennes assez faibles.

On ne dispose plus des résultats des nombreux problèmes de la famille MUL (Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste) où l’on demande de trouver un nombre d’après ses restes (Moutons (05.II.08), Sac de billes (10.II.13), Mon nombre (07.F.14), Les biscuits d’Emilie (13.I.12), La boîte de vignettes (19.I.13) on connaît ceux de Collection de carte postales (24.F.02), avec des moyennes proches de 3 en catégories 6, 7 et 8 (pour des classes finalistes).

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