Une photo d'Afrique

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Rallye: 19.I.03 ; catégories: 3, 4 ; domaine: PR
Familles:

• SP - Traiter des suites proportionnelles
• SP/RIP - Effectuer des répartitions proportionnelles

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver deux nombres naturels tels que l'un est le double de l'autre et dont la somme est 36, dans un contexte d’animaux de deux espèces.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Il y a plusieurs manières de résoudre la tâche de décomposition de 36 en une somme de deux termes dont l’un est le double de l’autre.

1. Faire des essais au hasard. Il suffit de savoir additionner, soustraire et prendre le double, pour des cas isolés.

2. Organiser les essais en tenant compte simultanément des deux contraintes :

• si l’on part de la somme de 36, il faut dresser l’inventaire des couples de (1 ; 35) à (18 ; 18) et vérifier dans lequel le plus grand des termes est le double du petit
• si l’on part de la relation « double », il faut dresser l’inventaire des couples de (1 ; 2), (2 ; 4 ) … et s’arrêter à (12 ; 24), dont la somme des termes est 36.

Aux savoirs précédents (point 1), s’ajoute l’extension à tous les cas possibles : il y a deux grandeurs en jeu, dépendantes l’une de l’autre, que l’on peut ordonner selon l’une ou l’autre. (La perception de l'ensemble des couples est nécessaire pour organiser les essais en tableaux ou listes de correspondance; elle prépare aux concepts de fonction, de variable, d'ordre, de croissance …)

3. Concevoir la tâche dans le cadre de la proportionnalité :

• trois grandeurs sont en jeu : les nombres de girafes; de zèbres ; d'animaux;
• ces trois nombres sont proportionnels à 1 (pour les girafes), 2 (le double pour les zèbres) et 3 (nombre total des animaux)

Cette relation peut s'illustrer par un schéma ou un tableau dans lequel les trois grandeurs (dont les deux premières sont encore inconnues et la troisième est 36) sont mises en correspondance avec les trois nombres 1, 2, et 3. Le coefficient de proportionnalité est ici déterminé par le rapport de 3 à 36: 12, qui, appliqué à 1 et 2 va permettre de détermines les nombres 12 et 24.

  1  2  3
  ?  ? 36

Les savoirs font ici intervenir la reconnaissance des deux grandeurs en jeu, le lien qui lie les éléments des couples correspondants, de type multiplicatif (rapport), ainsi que toutes les propriétés de la proportionnalité (ou de la linéarité).

4. On retrouvera les opérations précédentes pour le cas général traité algébriquement: l’équation x + 2x = 36 devient 3x = 36, puis x = 12 et 2x = 24.

Avec les 18 couples de nombres naturels à envisager, la première et la deuxième procédures sont possibles. Si on avait par exemple 15029 animaux et que le nombre de zèbres était les 3/4 de celui des girafes, il faudrait évidemment choisir la résolution par proportionnalité ou par algèbre.

Notions mathématiques

proportionnalité, répartition, partage, addition, double, moitié, nombres entiers, petits nombres

Résultats

19.I.03

Points attribués sur 931 classes de 19 sections:

Selon les critères de l'analyse a priori du problème:

• 4 points: Réponse correcte (24 zèbres et 12 girafes), avec démarche claire (dessin, suite de calculs, tableau…) ou vérification des contraintes
• 3 points: Réponse correcte avec démarche peu claire ou absence d'explication
• 2 points: Réponse « 24 girafes et 12 zèbres » (mauvaise interprétation du mot double)
  ou démarche correcte avec erreur de calcul
• 1 point: Réponse pour laquelle une seule des deux contraintes est vérifiée (total égal à 36 ou nombre de zèbres double du nombre de girafes)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les résultats montrent que les élèves de catégories 3 et 4 trouvent la solution, (globalement, près de 70 % des classes).

Les procédures les plus souvent observées consistent à partir d'une des deux conditions et de faire des essais jusqu'à ce que la deuxième condition soit aussi vérifiée. (décrites aux points 1 et 2 de rubrique précédente).

Les copies ne permettent pas toujours de distinguer les procédures par essais « au hasard » de celles où tous les couples sont envisagés car les jeunes élèves ne sont pas encore au stade de l’élaboration de tableaux complets.

Pour ceux qui partent de couples dont un élément est le double de l’autre, les détails de la recherche se limitent à quelques essais. Dans l’exemple suivant, on ne peut pas savoir si après le couple (10 ; 20), les élèves ont essayé (11 ; 22) avant d’arriver à (12 ; 24)

10 girafes et 20 zèbres, ce n’est pas assez car 10 + 20 = 30.

12 girafes et 24 zèbres car 12 + 24 = 36

Dans l'exemple qui suit, en revanche, il y a plus de détails:

Au début on a essayé avec 10 girafes, mais le double est 20, les zèbres, et alors 10 + 20 = 30. Après on a essayé avec 11 girafes, le double 22 (11 + 22 = 33). Ensuite on a essayé avec 20 girafes, le double de 12 est 24, donc 12 + 24 = 36.

De même, ceux qui partent de deux nombres dont la somme vaut 36 vont commencer par des couples « vraisemblables » plutôt que par (1 ; 35). Ceux qui pensent à une répartition (18 ; 18) ne vont pas décrire tous les essais. Il y a peu de copies où figurent tous les couples essayés. Dans la grande partie des cas, on voit apparaître le couple 12 – 24 avec un commentaire qui parle des essais.

Pour résoudre ce problème, nous avons fait une division. Nous avons divisé 36 à moitié ce qui fait 18, mais le nombre de zèbres doit être le double des girafes, alors nous sommes repartis en arrière jusqu’à 12. Arrivés à 12 nous avons pris le double du nombre, 24. En additionnant le nombre des zèbres on a obtenu 36, tous les animaux.

Les procédures par « proportionnalité », où le total 36 est réparti en 3 groupes, se rencontrent déjà en catégorie 3, dans à peu près 20 % des cas et en catégorie 4 dans à peu près 30 % des cas, mais souvent de manière peu explicite.

Nous avons divisé les 36 en trois groupes et obtenu 12. Nous avons multiplié par deux et avons trouvé les zèbres = 24 et il y a 12 girafes.

Exploitations didactiques

Pour exploiter le problème Une photo d’Afrique il faut évidemment aller au-delà de la réponse, qu’on peut trouver facilement par quelques essais.

C’est le passage d’une procédure par essais au hasard à une organisation de la recherche qui est intéressante à observer et à mettre en valeur (point 1 et 2 de la rubrique 5 des tâches de résolution et savoirs mathématiques ).

Une discussion collective doit permettre aux élèves de justifier le choix d’un deuxième couple après un premier couple qui s’est révélé inadéquat.

Comme dans l’exemple ci-dessus : 10 girafes et 20 zèbres, ce n’est pas assez car 10 + 20 = 30. les élèves doivent pouvoir se convaincre que les essais suivants doivent s’orienter vers les couples (11 ; 22), (12 ; 24) … et non vers les couples de nombres plus petits comme (9 ; 18) …

On peut aborder l’ensemble des couples pour s’assurer qu’il n’y en a qu’un qui satisfait les deux conditions.

Pour valoriser la procédure de recherche organisée, on peut changer le nombre d’animaux et proposer par exemple 45, ou 87, …

On remarquera, en choisissant les nombres d’animaux, qu’il faut obligatoirement des multiples de 3 afin qu’ils puissent être décomposés en une somme de deux termes dont l’un est le double de l’autre.

C’est peut-être à ce moment qu’on peut aborder la procédure qui se fonde sur la proportionnalité en évoquant le nombre total des animaux comme la somme d’un nombre de départ et de son double ou comme le triple de ce nombre de départ.

Problèmes de la même famille de tâche: partages proportionnels:

Perles rouges

Déterminer le nombre d'objets de trois sous-ensembles dont les cardinaux sont dans les rapports 1, 2, 3, dans le cas ou le deuxième est 14, puis dans le cas où l'ensemble est 30.

Chats gourmands

Trouver les couples de multiples de 7, proportionnels à 1 et 2, dont la somme est comprise entre 100 et 200; dans un contexte de biscuits partagée entre deux chats.

Toujours le double

Chercher à décomposer 100, ou sinon le plus grand nombre naturel inférieur à 100, en trois nombres proportionnellement à 1, 2 et 4; dans un contexte de billes à répartit dans trois boîtes

Nettoyage

Décomposer 28 en deux nombres proportionnels à 18 et 24, dans un contexte de paquets de biscuits à partager entre deux classes.

Les autocollants

Décomposer 90 en une somme de trois termes proportionnels à 1, 3 et 5, dans un contexte d’autocollants à répartir sur trois endroits.

Pour aller plus loin

L’adulte conçoit souvent l’organisation des essais comme un tableau dans lequel figure toutes les valeurs des variables. Les élèves, eux, ne recourent pas au tableau mais à des listes où l’on perçoit déjà d’ordre des variables et l’idée de croissance ou de décroissance (Exemples A, B, C)

A.

On a trouvé la solution en essayant ceci:

  6 + 12 = 18
  7 + 14 = 21
  8 + 16 = 24
  9 + 18 = 27
  12 + 24 = 36

B.

  Zèbres    Girafes
  21        15      non
  22        14      non 
  23        13      non
  24        12      oui

C.

Nous avons trouvé une solution 12 × 2 = 24 24 + 12 = 36

Nous avons trouvé beaucoup de solutions fausses. Par exemple:

  9 × 2 = 18 + 9 = 27
  8 × 2 = 16 + 24 = 40
  6 × 2 = 12 + 6 = 18
  7 × 2 = 14 + 7 = 21
  36 × 1 = 36 + 36 = 72

Nous avons relu et contrôlé de nombreuses fois les solutions et l’énoncé, mais nous n’en avons trouvé seulement une, mais beaucoup d’opérations fausses.

Les procédures dans lesquelles on entrevoit la proportionnalité sont variées. Il faut que les élèves aient perçu la relation « le double » entre les deux sous-ensembles et qu’ils l’aient transformée en « triple » ou « trois parties » … par la propriété additive de la proportionnalité - peut-être encore implicite. Exemples D, E

D.

Après avoir lu l’énoncé, nous avons divisé le total des zèbres et des girafes (36) en 3 parties égales 36 : 3 = 12 pour arriver au double. Le double de 12 est 24. 36 – 24 = 12

En conclusion nous sommes arrivés à 12 girafes et 24 zèbres.

E.

Puisque les zèbres sont le double des girafes je fais 36 : 3 = 12 nombre des girafes

(note : les élèves ont dessiné un segment divisé en trois parties pour mettre en évidence la partis des girafes et celle des zèbres selon une unité de mesure de longueur.)

F.

Pour trouver la solution nous avons fait : 12 + 12 + 12 ou 12 × 3 = 36. Donc il y a 12 girafes et 24 zèbres.

G.

Nous avons fait 36 : 3 (nous avons trouvé le 3 en divisant 36 trois fois parce que dans l’énoncé il est écrit que les zèbres sont ile double des girafes) et le résultat est 12 et c’est le nombre des girafes.

Puis nous avons calculé 12 + 12…

H.

Le problème dit que en tout il y a 36 zèbres et girafes, mais le problème dit aussi que les zèbres sont le double des girafes, donc nous devrons faire 3 groupes. 36 : 3 =12….Les girafes sont la moitié des zèbres et les zèbres sont le double 12 × 2 = 24, il nombre des zèbres est 24 et les girafes sont 12.

Pour vérifier que c’est juste on fait 12 + 24 = 36

I.

Si les zèbres sont le double des girafes il suffit de faire 3 groupes égaux en faisant 36 : 3 et on trouve les zèbres et les girafes. Donc il y a 12 girafes et 24 zèbres.

J. la solution commence par le dessin :

  O O O O O O O O O O O O      24 + 12 = 36     12 × 3 = 36
  X X X  X X X  X X  X X  X X
  X X X X X X  X X  X X  X X

Nous avons fait 36 : 3 = 12 parce qu’on a 3 groupes égaux et si on en réunit 2 on a l’un qui est le double de l’autre. On avait 3 groupes de 12 ; on en a mis 2 ensemble parce que les zèbres doivent être le double des girafes.

K.

  36 : 3 = 12
  12 × 2 = 24 + 12 = 36

Nous avons calculé que les zèbres étaient le double des girafes et donc valaient pour deux : nous avons écrit trois au dividende parce que deux plus un font trois et que trente-six divisé par trois fait douze et douze par deux fait vingt-quatre.

L.

Nous avons additionné 12 + 12 qui fait 24 (nb zèbres), puis nous avons additionné 24 + 12 qui fait 36 (nb animaux en tout).

  Il y a 12 girafes 
  Il y a 12 zèbres

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