Banque de problèmes du RMT
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Rechercher les couples de nombres consécutifs compris entre 100 et 1000, formés tous les deux de seulement deux mêmes chiffres différents, et dont le somme des six chiffres du couple est 39.
- Comprendre comment sont structurés deux nombres consécutifs de trois chiffres, écrits les deux avec seulement deux chiffres différents, qui ne peuvent être, eux aussi, que des chiffres (on nombres) consécutifs tels que 1 - 2; 2 - 3; 3 - 4; 4 - 5; 5 - 6; 6 - 7; 7 - 8; 8 – 9 et que pour chaque choix des deux chiffres, il y a quatre couples de nombres possibles. Par exemple avec 3 et 4 : (333;334), (343;344), (433;434), (443;444).
- Chercher les couples ainsi formés dont la somme des 6 chiffres qui les composent est 39, se rendre compte que les deux chiffres ne peuvent être que 6 et 7 et que les choix devront se faire entre les quatre couples (666;667), (676;677), (766;767), (776;777), pour ne retenir que le deuxième et le troisième formés de trois chiffres 6 et trois chiffres 7: (676;677), (766;767.
- Il est aussi possible de procéder par des écritures littérales du type $(xxx;xxy)$ où $y = x + 1$
Les savoirs mobilisés sont ceux de nombres consécutifs, éventuellement de division de 39 par 6 avec un reste de 3; la conduite d'une recherche exhaustive pour s'assurer ou démontrer qu'il n'y a que deux solutions, éventuellement la pose et la résolution d'équations.
nombres consécutifs, chiffres, division, reste, équation, somme
Points attribués sur 706 classes:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 148 (44%) | 66 (20%) | 90 (27%) | 15 (5%) | 14 (4%) | 333 | 1.04 |
| Cat 8 | 100 (38%) | 47 (18%) | 62 (24%) | 22 (8%) | 30 (11%) | 261 | 1.37 |
| Cat 9 | 32 (50%) | 12 (19%) | 15 (23%) | 0 (0%) | 5 (8%) | 64 | 0.97 |
| Cat 10 | 9 (19%) | 12 (25%) | 11 (23%) | 5 (10%) | 11 (23%) | 48 | 1.94 |
| Total | 289 (41%) | 137 (19%) | 178 (25%) | 42 (6%) | 60 (8%) | 706 | 1.22 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Procédures
Tous les groupes qui ont interprété correctement le texte et déterminé au moins une des deux solutions possibles ont découvert que, pour obtenir deux nombres consécutifs en utilisant seulement deux chiffres, ceux-ci doivent être consécutifs eux aussi.
À ce point, quelques groupes ont procédé systématiquement en formant deux nombres de trois chiffres en utilisant seulement deux chiffres consécutifs et en écartant au fur et à mesure ces couples dans lesquels la somme des chiffres n'était pas 39. D'autres ont déterminé les chiffres à utiliser en divisant 39 par 6 pour obtenir ainsi la moyenne 6,5 des chiffres. En tenant compte du fait que les deux chiffres devaient être consécutifs, ils ont déduit que les deux chiffres étaient 6 et 7.
Beaucoup, parmi ceux qui ont trouvé au moins une solution correcte ont trouvé que les deux chiffres devaient paraître 3 fois chacun (ce qui est vrai avec ces variables numériques, mais doit être démontré !) et ils n'ont pas pris en considération de couples de nombres avec cinq chiffres d'un type et un de l'autre (par exemple : 333 et 334, 666 et 667). Peut-être parce qu'ils avaient découvert que les sommes des chiffres de chaque nombre devaient être, respectivement, 19 et 20 (si les deux nombres sont consécutifs et le pus grand ne se termine pas par 0, alors même les sommes des chiffres sont consécutifs), mais ni 19 ni 20 ne sont divisibles pour 3 ?
Certains ont employé une décomposition additive en divisant 39 par 3, en déduisant que la somme des deux chiffres devait être 13 et donc les chiffres (consécutifs) 6 et 7.
D'autres, de cat.10, ont employé l'algèbre, en établissant un système linéaire du type $3x + 3y = 39$ et $x + y = 2x + 1$.
D'autre ancore sont partis de $xyx$ pour le premier triplet et de $xyy$ pour le second avec $y = x+1$ ou $x-1$ mais ensuite ont considéré seulement $y=x+1$ et ont établi l'équation $x + (x + 1) + x + x + (x + 1) + (x + 1) = 39$ dont on tire $x = 6$ (s'ils avaient établi aussi l'autre équation $x + (x - 1) + x + x + (x - 1) + (x - 1) = 39$ ils auraient obtenu $x = 7$).
Une seule copie de catégorie 10, parmi celles qui ont été examinées, montre l'existence des deux couples de nombres qui satisfont toutes les conditions en utilisant l'algèbre et un raisonnement correct.
Obstacles
- Erreur dans l'interprétation de la condition pour écrire ces deux nombres, on n’utilise que deux chiffres différents et en particulier de pour écrire ces deux nombres.
- Signification du terme consécutifs.
Erreurs
L'observation des copies a montré que beaucoup de groupes ont mal interprété la seconde condition : l'expression ces deux nombres a été considérée comme nombres égaux ou nombres avec deux chiffres en commun qui se différencient seulement par le troisième (comme par exemple 298 et 299, 397 et 398, 496 et 497, 955 et 956, 838 et 839, etc) ; de telle sorte qu'ils ont utilisé au total 3 ou 4 chiffres pour chaque couple de nombres. Ou encore certains ont compris que chaque nombre devait être formé de deux chiffres différents et ont ainsi utilisé trois chiffres différents en tout (par exemple : 991 et 992, 667 et 668, etc).
- Interruption de la recherche après avoir trouvé seulement un couple de nombres. Alors que toutes les précédentes interprétations donnent lieu à un plus grand nombre de solutions.
- Respect d'une seule contrainte, généralement celle de la somme égale à 39.
Exemple: Nous avons trouvé le premier couple à la suite de nombreux essais (le premier couple était 397-398), ensuite il suffisait de diminuer de 1 les centaines et d'ajouter le 1 dans les dizaines etc. 577-667 ;
L'explication fournie met en évidence la confusion des élèves concernant le concept chiffre - nombre - valeur positionnelle.
- Recherche des deux nombres à partir de l'assertion que les chiffres consécutifs apparaissent exactement trois fois chacun. Avec les variables numériques du problème ceci est vrai mais n'est pas généralisable.
Le problème traite d'une situation plausible et se situe dans un contexte accessible aux élèves. Il peut donc favoriser le passage de la réalité à la mathématique.
On peut l'utiliser avec différentes finalités:
- compréhension des régularités de la numération;
- conscience du concept de valeur positionnelle;
- vérification de la compréhension d'un langage spécifique;
- prise en compte de toutes les contraintes et variables;
- compréhension de la signification et de l’utilisation du reste dans la division;
- usage des équations;
- engagement dans une démarche systématique et exhaustive.
(Voir aussi la rubrique "pour aller plus loin").
Problèmes “proches” de la même famille de tâches:
Au feu rouge (18.II.07 cat.4 - 6) Trouver tous les triplets de nombres d’un seul chiffre, alignés, tels que la somme des deux nombres des extrémités est le double de celui du milieu et tels que le premier est le double du troisième.
Nombre à deviner (15.I.02 cat.3, 4) Trouver le nombre plus grand que 33, dont le double est plus petit que 100, dont un seul des deux chiffres est 4 et tel que, si on échange la place des deux chiffres, on obtient un nombre plus grand que 50 et plus petit que 70.
Le numéro de téléphone (14.I.13 cat.6 - 10) Déterminer un nombre de 6 chiffres sachant que: le premier et le dernier chiffre sont identiques et représentent un nombre impair, le troisième et le quatrième chiffre forment un nombre égal au tiers du nombre formé par les deux premiers chiffres et les trois derniers chiffres représentent trois nombres consécutifs, qui se suivent dans l’ordre croissant.
La plaque de voiture (13.I.07 cat.4 - 6) Trouver les nombres de cinq chiffres dont on connaît la somme des chiffres (en les considérant aussi comme des nombres),22,le premier, 9, et le dernier, 8.
La valise (12.F.10 cat.5 - 8) Trouver les nombres de quatre chiffres, dont la somme (en les considérant aussi comme des nombres) est 12, le 2e et le 4e sont les seuls chiffres égaux et dont le 3e est la somme des trois autres.
Nombre inconnu (12.I.03 cat.3, 4) Trouver le nombre naturel de deux chiffres dont la somme des chiffres est 11 et qui diminue de 45 lorsqu’on inverse ses chiffres.
Le nombre de Roger (10.F.15 cat.8) Trouver les nombres décimaux composé de cinq symboles : quatre chiffres et une virgule, tels que : le nombre formé formé par les trois premiers symboles soit le 1/20 du nombre formé du dernier chiffre et tels que le nombre formé par les deux derniers symboles soit un multiple du nombre formé par le 3e et le 4e symbole.
La plaque d'immatriculation (10.I.12 cat.6 - 8) Trouver un nombre de 6 chiffres divisible par 3 tel que si on lit le nombre de gauche à droite, chaque chiffre forme un nombre plus grand que celui qui le précède. De plus chaque nombre de 2 chiffres obtenu en découpant ce nombre initial en trois tranches est premier.
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