Banque de problèmes du RMT
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Calculer le prix de l’ensemble des dalles identiques d’un pavage rectangulaire de 15 m de périmètre dont la disposition est donnée par un dessin, et le prix au mètre carré est connu.
À la lecture de l’énoncé et de ses données numériques (périmètre de 15 m et prix de 30 € au m2, il faut se rendre compte que la question qui concerne le prix des dalles exige le calcul préalable de l’aire des dalles ou de la chambre.
Savoirs nécessaires : la donnée des 15 m de périmètre ne suffit pas pour déterminer la mesure de l’aire d’un rectangle (il y a une infinité d’aires différentes) et le dessin du pavage permet de calculer le rapport entre les mesures de la longueur et de la largeur.
La première tâche de résolution est donc de déterminer les deux dimensions en observant la figure représentant ce rectangle particulier et le quadrillage (presque complet) de sa structure. La procédure consiste à constater que la longueur d’une dalle est le double de sa largeur et que, par conséquent, on peut prendre cette largeur (ou le côté d’un carré du quadrillage) comme unité commune. Un simple comptage permet de voir que la largeur et la longueur de la chambre sont respectivement 6 et 9 et que le périmètre de la chambre est 30 unités.
La deuxième tâche est de passer des unités 6 et 9 aux mesures en mètres : 30 (unités) <=> 15 (m) qui fait apparaître le rapport (de proportionnalité) 2/1 ou 1/2 et les dimensions de la chambre 3 et 4,5 (m).
La dernière tâche consiste à calculer l’aire du rectangle : 3 × 4,5 = 13,5 (m2) et le prix des dalles : 13,5 × 30 = 405 (€).
Une éventuelle procédure algébrique, se base aussi sur la détermination des dimensions 6 et 9 unités et permet, comme précédemment, de calculer la mesure, en mètres, de l’unité (x) par la résolution de l’équation :
2(9x + 6x) = 15 => 30x = 15 => x = 1/2
avant de trouver l’aire et le prix.
rectangle, périmètre, longueur, largeur, aire, unité, pavage, prix, proportionnalité
Points attribués, sur 1175 classes de 19 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 186 (23%) | 89 (11%) | 72 (9%) | 179 (22%) | 281 (35%) | 807 | 2.35 |
| Cat 9 | 24 (12%) | 12 (6%) | 21 (11%) | 51 (26%) | 88 (45%) | 196 | 2.85 |
| Cat 10 | 17 (10%) | 10 (6%) | 18 (10%) | 38 (22%) | 89 (52%) | 172 | 3 |
| Total | 227 (19%) | 111 (9%) | 111 (9%) | 268 (23%) | 458 (39%) | 1175 | 2.53 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
- La majorité des groupes d’élèves a pu s’approprier le problème
- La procédure la plus courante consiste à rechercher une unité de mesure commune du périmètre : soit le côté « long » du carreau, soit le côté « court » ; ou en tout cas rechercher des "modules" qui se répètent sur la figure, la division de la grille en petits carrés de même côté est très courante. Le raisonnement sur le rapport 6 à 9 des dimensions du grand rectangle est moins présent.
- Les procédures algébriques pour les copies de catégorie 8 sont très rares.
- En catégories 9 et 10, la procédure algébrique est utilisée, mais pas de manière prépondérante et dans la plupart des cas elle traduit en langage symbolique ce que la plupart des élèves ont déjà observé, c'est-à-dire qu'un côté du carreau est double (ou la moitié de la autre).
- Une erreur est de considérer que le rapport des deux dimensions du rectangle est 2, comme celui de chaque dalle ; ce qui conduit aux dimensions 5 et 10 unités (au lieu de 6 et 9) puis 2,5 et 5 (en mètres), à l’aire de 12,5 m2 et au prix de 375 euro. Il s’agit d’une confusion entre la mesure de l’aire et celle du périmètre.
- Il y a une très grande variété de procédures qui conduisent à la réponse correcte selon les différentes « visions » du dallage : un grand rectangle dont les dimensions sont 6 et 9 unités, les 27 dalles rectangulaires (1 x 2), les 54 carrés du quadrillage, trois alignements horizontaux - qui entraînent des successions différentes des trois opérations : transformations des unités en m ou en m2, calcul des aires, calcul du prix. Par exemple, compter les 54 carrés, trouver les deux dimensions du dallage 6 et 9, passer aux mesures en mètres pour déterminer l’aire d’un carré de 0,5 m de côté puis celle de l’aire du dallage, pour finir par le calcul du prix.
Par rapport au problème Le parquet (23.I.14) la tâche est sensiblement simplifiés par la diminution du nombre de pavés (27 au lieu de 50), par le rapport entre les deux dimensions des pavés (1 x 2) au lieu de (1 x 3), par la configuration plus simple du pavage (le « quadrillage » est devenu évident) et par le rapport de conversion des mesures des côtés de carrés aux mètres un nombre entier 2 = 30/15 au lieu d’un nombre rationnel 5/3 = 50/15. Il n’a a donc plus un grand intérêt à proposer Le dallage de Fabio en catégorie 9 et 10 mais on peut l’envisager pour la catégorie 7, voire 6.
L’intérêt d’un débat en classe sur les différentes procédures de résolution, issues de « visions » différentes du pavage est de faire constater qu’elles conduisent toutes à la même solution et qu’elles reposent sur les mêmes tâches et opérations dont seule l’ordre chronologique diffère : détermination des dimensions ou de l’aire des carrés du quadrillage en unités communes, conversion de ces unités en mètres ou mètres carrés, calcul de l’aire et du prix.
Il y a cependant un savoir plus fondamental à relever qui concerne les liens entre périmètre et aire. Un pavage de 15 mètres de périmètre pourrait conduire à des aires différentes selon la disposition des pavés qui le composent. En choisissant un pavage en quadrillage (dont tous les pavés sont carrés) de 15 mètres de périmètre, on peut se demander quelles pourraient être les aires de ce pavage, de la plus petite à la plus grande.
Plus généralement on peut passer à un rectangle sans quadrillage, et se demander, pour un périmètre déterminé, quelle pourrait être l’aire du rectangle. Il s’agit là d’un problème essentiel à résoudre avec des mesures qui ne sont plus des nombres de … (aires ou côtés de carrés) mais des nombres réels. On aborde ainsi le passage des grandeurs discrètes aux grandeurs continues, des nombres entiers aux nombres réels.
On peut envisager d’insérer le problème Le dallage de Fabio dans un « parcours didactique de la classe » sur « aire et périmètre », qui tire profit des analyses et pratiques de problèmes du RMT.
On dispose de quatre versions du même problème, avec valeurs différentes des variables didactiques, dont les expérimentations donnent des indices d’intérêt pour certaines catégories:
La boîte (11.F.09, pavage de 112 cm de périmètre composé de 4 rectangles de (1 x 3) ; accessible pour des finalités, dès la catégorie 6 et bien résolu en catégorie 7.
La table de jardin (15.I.12, pavage composé de 7 rectangles de (1 x 5), chacun de 3 m de périmètre, difficile en catégorie 6 accessible en catégorie 7.
Le dallage de Fabio pavage de 15 m de périmètre composé de 27 rectangles de (1 x 2) ; accessible en catégorie 8 et vraisemblablement en cat. 7, voire 6.
Le parquet (23.I.14) pavage de 15 m de périmètre composé de 50 rectangles de (1 x 3) ; trop difficile en catégorie 7, accessible dès la catégorie 8.
Ces données sont utiles pour le choix d’un parcours didactique : certaines versions peuvent être reprises après un délai d’une demi-année ou d’une année.
D’autres problèmes qui peuvent s’intégrer dans un parcours sur le thème « aire et périmètre » sont proposés par le Groupe de travail « Géométrie plane » dont certains sont actuellement (2023-2024) expérimentés:
En particulier :
La tarte de Mamie Lucie (22.II.06, cat. 4-6) où le partage d’un rectangle par ses diagonales fait apparaître des triangles dont les dimensions (et périmètres) sont évidemment différentes mais les aires son égales.
Les surfaces de Monsieur Minipot (16.II.06, cat. 4-5) où le quadrillage permet de comparer des aires de rectangles et d’un polygone à huit côtés.
L'héritage (08.I.16, cat. 7-8) (Gazette n. 4) où l’on retrouve le partage d’un rectangle en deux couples de deux triangles de dimensions très différentes mais avec des aires équivalentes.
Les sept polygones (29.I.13, cat. 7-8) dont l'analyse a posteriori est développée dans la Gazette no 12)
Coupe et découpe (15.I.10, cat.5-6) pour renforcer le concept d’unité commune.
Trois amis et leurs dessins (20.II.06, cat.4-6) sur le "conflit" aire-périmètre
Le tangram du menuisier (I) (29.II.10, cat.6-7) et Le tangram du menuisier (II) (29.II.17, cat.8-10)où les relations entre les sept pièces du tangram font intervenir les unités communes soit des aires, soit des périmètres.
Spirale de carrés (I) (23.II.11, cat, 6-8) et Spirale de carrés (II) (23.II.19, cat, 9-10) avec deux suites correspondantes remarquables : la progression arithmétique des côtés de raison √2 et la progression géométrique des aires de raison 2 !
En complément de la résolution de ces problèmes, des recherches systématiques peuvent être proposées comme renforcements et travaux de plus longue haleine:
- l’étude d’une famille de triangles de même périmètre, ...
- l’étude d’une famille de rectangles de même aire, ...
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