QUA/GQ - Polygones sur quadrillages

Dans cette famille de problèmes, les tâches essentielles sont d’identifier ou construire des polygones dont les sommets sont situés sur les intersections des lignes du quadrillage (ou à coordonnées entières), de comparer des longueurs de segments, côtés ou diagonales, de déterminer les angles droits, de reconnaître les polygones particuliers, les figures ou segments isométriques. Les observations des figures s’appuient sur un usage coordonné des instruments de mesure (règle et équerre) et des perceptions des isométries déterminées par le quadrillage (translations, rotations d’un quart de tour, symétries centrales et axiales).

Remarque et suggestion

Problèmes

Les carrés (ral. 03.I.15 ; cat. 5-5 ; 03rmti_fr-15): Tracer des carrés dont les sommets se trouvent sur des points formant une croix.

Réseau triangulaire (ral. 05.F.09 ; cat. 4-6 ; 05rmtf_fr-9): Trouver le maximum et le minimum de triangles que peut contenir un polygone de périmètre 24 cm dessiné sur un réseau triangulés par des triangles de 1 cm de côté.

La traversée du quadrillage (ral. 08.II.08 ; cat. 5-7 ; 08rmtii_fr-8): Comparer la longueur de 7 parcours qui « traversent » un quadrillage de 8 carrés de largeur, suivant des côtés ou des diagonales des carrés du quadrillage

Carrés cachés (I) (ral. 10.F.05 ; cat. 3-5 ; 10rmtf_fr-5): Trouver tous les carrés dont les sommets se situent sur des points donnés sur un quadrillage.

Carrés cachés (II) (ral. 10.F.11 ; cat. 6-8 ; 10rmtf_fr-11): Trouver tous les carrés dont les sommets se situent sur des points donnés sur un quadrillage.

La vache dans le verger (I) (ral. 15.I.04 ; cat. 3-4 ; 15rmti_fr-4): Dessiner sur un réseau pointillé à maille carrée des polygones de même périmètre qu’un polygone donné, composé de 4 côtés de carrés du réseau et de 4 diagonales, mais d’aire plus grande.

La table à déplacer (ral. 16.F.24 ; cat. 4-5 ; 16rmtf_fr-24): Sur un quadrillage, déterminer les sommets manquants de rectangles dont certains sommets sont donnés, à partir d’un modèle placé dans una position différente.

Puzzle (I) (ral. 17.II.04 ; cat. 3-4 ; 17rmtii_fr-4): Reconstituer un rectangle avec quatre pièces qui sont assemblées en carré. Le carré est dessiné sur un quadrillage de 10 × 10, il est partagé par deux droites parallèles joignant chacune un sommet au milieu d’un côté opposé en un parallélogremme et deux triangles rectangles, puis l’un deux est partagé en deux triangles rectangles par sa hauteur perpendiculaire à son hypoténuse.

Puzzle (II) (ral. 17.II.08 ; cat. 5-6 ; 17rmtii_fr-8): Reconstituer un rectangle avec quatre pièces qui sont assemblées en carré. Le carré est dessiné sur un quadrillage de 10 × 10, il est partagé par deux droites parallèles joignant chacune un sommet au milieu d’un côté opposé en un parallélogramme et deux triangles rectangles, puis l’un deux est partagé en deux triangles rectangles par sa hauteur perpendiculaire à son hypoténuse. Puis dessiner le rectangle sur une feuille quadrillée de même maille que le dessin du carré, de manière à ce que les sommets de chaque pièce soient situées sur les intersections du quadrillage.

Les dix points (ral. 18.I.08 ; cat. 5-7 ; 18rmti_fr-8): A partir de 10 points placés sur un réseau à maille carré, recherche de quadruplets de points formant des quadrilatères qui vérifient les propriétés caractéristiques du rectangle.

Sur le mur de l'école (I) (ral. 18.II.06 ; cat. 4-5 ; 18rmtii_fr-6): Identifier les rectangles, parallélogrammes non rectangles et autres parmi une chaîne de dix quadrilatères ayant des côtés communs dessinés sur un quadrillage.

Sur le mur de l'école (II) (ral. 18.II.13 ; cat. 6-8 ; 18rmtii_fr-13): Identifier les rectangles, parallélogrammes non rectangles et autres parmi une chaîne de dix quadrilatères ayant des côtés communs dessinés sur un quadrillage et déterminer l’aire des deux plus grands.

Découpages de triangles (ral. 19.II.13 ; cat. 6-8 ; 19rmtii_fr-13): Trouver les différents triangles isocèles dont les sommets sont sur des points du quadrillage avec deux côtés isométriques à un segment donné sur la grille.

Trois amis et leurs dessins (ral. 20.II.06 ; cat. 4-6 ; 20rmtii_fr-6): Rechercher, comparer des périmètres et aires de 3 figures sur un quadrillage et dessiner une figure d'aire et de périmètre donnés.

Fils tendus (ral. 24.F.23 ; cat. 5-5 ; 24rmtf_fr-23): Dessiner les carrés et les rectangles dont les sommets sont situés sur l’un des nœuds de chacun des quatre côtés d’une grille quadrillée 5 × 5 (à l’exception des nœuds des quatre sommets de la grille).

Le puzzle (ral. 24.F.24 ; cat. 5-5 ; 24rmtf_fr-24): Vérifier si des polygones (six) dessinés sur un quadrillage peuvent être recouverts par les huit pièces triangulaires d’un puzzle (4 demi-carrés du quadrillage, 2 triangles rectangles isocèles composés chacun de 2 demi-carrés, 2 demi rectangles 1 × 2), présenté par deux exemples : en forme de rectangle 1 × 6 puis en forme d’un hexagone (non régulier)

La vache dans le verger (II) (ral. 25.I.07 ; cat. 5-6 ; 25rmti_fr-7): Dessiner sur un réseau pointillé à maille carrée des (deux) polygones de même périmètre qu’un polygone donné, composé de 4 côtés de carrés du réseau et de 4 diagonales, mais d’aires de plus en plus grandes.

Des carrés sur une figure (ral. 25.II.04 ; cat. 3-4 ; 25rmtii_fr-4): Trouver tous les carrés dont les sommets sont sur quatre points d’un réseau donné, à l’intérieur d’une figure donnée.

Les quadrilatères de Patricia (ral. 25.II.10 ; cat. 5-8 ; 25rmtii_fr-10): Sur les points d’un quadrillage 4x4, dessiner des quadrilatères convexes dont l’aire vaut 2 carreaux du quadrillage et dont les sommets sont placés sur les points du quadrillage.

Carrés sur des clous (ral. 26.I.05 ; cat. 3-5 ; 26rmti_fr-5): Identifier et dénombrer des carrés dont les sommets se situent sur une partie d’une planche à clous.

Un champ d'aire double (ral. 26.I.09 ; cat. 5-7 ; 26rmti_fr-9): Transformer un polygone concave (composé d’un rectangle et d’un carré ou représentant les ¾ d’un carré) sur le contour duquel sont placés cinq points en un rectangle d’aire double de façon à ce que les cinq points soient encore sur le contour du rectangle dans leur position d’origine.

Comparaison de figures (ral. 26.I.12 ; cat. 6-8 ; 26rmti_fr-12): Comparer les aires de trois polygones (de 5 à 6 côtés) dont tous les sommets sont sur des nœuds d’un quadrillage.

Des triangles sur une planche à clous (ral. 27.I.18 ; cat. 8-10 ; 27rmti_fr-18): Un triangle est déterminé par trois sommets se situant sur les intersections d’un réseau de points à maille carrée (planche à clous), aucun de ses côtés n’est situé sur une ligne du réseau. Trouver tous les autres triangles de même aire dont deux sommets donnés sont inchangés et le troisième sommet est un autre point du réseau.

La bergerie du berger Arthur (ral. 27.F.11 ; cat. 6-8 ; 27rmtf_fr-11): Déterminer toutes les manières possibles de diviser, avec deux sortes de segments de longueurs données disposés parallèlement aux côtés, un rectangle en deux parties, dont l’un a une aire double de l’autre et chacune contenant un point donné.

Les deux papillons (ral. 29.I.06 ; cat. 4-6 ; 29rmti_fr-6): Comparer l'aire d'un triangle rectangle, qui est la moitié d'un rectangle quadrillé (9 × 6), avec celle de deux autres triangles rectangles à joindre et qui permettent de reconstruire l'autre moitié du rectangle.

Les sept polygones (ral. 29.I.13 ; cat. 7-8 ; 29rmti_fr-13): Comparer les aires de 7 figures dessinées sur un quadrillage; 2 triangles, 4 quadrilatères et un polygone à 5 côtés, dont tous les sommets sont sur des nœuds du quadrillage.

Les plates bandes de l'école (ral. 29.II.02 ; cat. 3-4 ; 29rmtii_fr-2): Comparer les périmètres de quatre polygones de même aire, dessinés sur une grille, dont les côtés suivent les lignes du quadrillage ou sont des diagonales de ses carrés.

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