DEN - Dénombrer des objets ou des figures

Dans les problèmes de cette famille, la tâche consiste à effectuer un dénombrement qui peut s'effectuer par comptage direct moyennant la mise en place d'une stratégie adéquate.

Cela peut concerner plusieurs domaines. Dans le plan, par exemple, il peut s'agir de trouver le nombre de carrés contenus dans une figures. Dans l'espace on peut trouver des cubes empilés en parallélépipèdes ou en pyramides dont il s'agit d'en effectuer le décompte.

Remarque et suggestion

Problèmes

Carrés (ral. 02.II.03 ; cat. 3-4 ; 02rmtii_fr-3): Dénombrer le nombre de carrés contenus dans un carré quadrillé constitué de 4x4 petits carrés.

L'escalier des différences (ral. 02.F.01 ; cat. 3-4 ; 02rmtf_fr-1): Trouver les pyramides de briques de trois étages (3 ; 2 ; 1) complétées avec les nombres de 1 à 6 telles que chaque brique porte un nombre naturel qui est la différence des nombres des deux briques sur lesquelles elle repose.

La caravane (ral. 03.II.12 ; cat. 5-5 ; 03rmtii_fr-12): Dénombrer un nombre de pattes et de jambes dans une situation addito-multiplicative.

La construction de Gérard (ral. 04.II.05 ; cat. 3-5 ; 04rmtii_fr-5): Déterminer le nombres d'allumettes restant dans trois boîtes de 38 allumettes après avec réalisé un avec celles-ci un hexagone de 3 allumettes de côté triangulé.

Carrés (ral. 04.F.06 ; cat. 3-5 ; 04rmtf_fr-6): Dénombrer le nombre de carrés visibles dans une figure.

La boîte de sucres (ral. 05.I.03 ; cat. 3-4 ; 05rmti_fr-3): Déterminer le nombre de morceaux de sucre d’une boîte pleine, d’après une photo de la boîte ouverte où il manque des morceaux et où l’on peut percevoir la structure 3 x 4 x 5.

Lettres manquantes (ral. 05.II.09 ; cat. 4-6 ; 05rmtii_fr-9): Compléter "La phrase écrite dans ce cadre a ... lettres" par un nombre en toutes lettres, de telles manière qu'elle soit vraie.

Les cubes (ral. 06.II.01 ; cat. 3-3 ; 06rmtii_fr-1): Déterminer le nombre de cubes qui manquent pour remplir une boîte transparente en forme de parallélépipède rectangle, remplie à peu près aux trois quarts et dont on peut percevoir la structure 4 x 5 x 6.

Mosaïque (ral. 06.F.02 ; cat. 3-4 ; 06rmtf_fr-2): Dénombrer les cases grises et blanches d’un motif dessiné sur un quadrillage de 16 x 16, puis sur un autre quadrillage de 28 x 28, par comptage un à un ou par multiplications et soustractions.

Combien de carrés ? (ral. 06.F.07 ; cat. 3-7 ; 06rmtf_fr-7): Dénombrer le nombre de carrés présents dans une figure.

Jeu de construction (ral. 07.I.09 ; cat. 4-5 ; 07rmti_fr-9): Calculer le nombre de cubes d'un empilement de 10 étages, le plus élevé composé d'un cube, les précédents de cubes disposés en carré avec des côtés croissants de un en un.

Jeu de construction (ral. 07.F.10 ; cat. 5-6 ; 07rmtf_fr-10): Trouver combien il restera de petits cubes après avoir construit le plus grand cube possible avec 2500 petits cube identiques à disposition (précédé d’un exemple d’un cube construit avec 27 petits cubes)

Combien de triangles ? (ral. 07.F.12 ; cat. 5-8 ; 07rmtf_fr-12): Déterminer le nombre de triangles visibles dans un pentagone dont tous les sommets ont été reliés entre eux.

Espace couleur (ral. 08.II.06 ; cat. 3-5 ; 08rmtii_fr-6): Dénombrer le le nombre de façon s que l'on peut juxtaposer en ligne 5 carrés: 1 jaune, 2 bleus et 2 rouges, de telle manière que deux carrés qui se touchent ne soient pas de la même couleur.

Divisiblité (ral. 08.II.10 ; cat. 6-8 ; 08rmtii_fr-10): Dénombrer le nombre de nombres de trois chiffres non divisibles par 10, 5 et 11.

Puzzle de rectangles (ral. 08.F.06 ; cat. 3-5 ; 08rmtf_fr-6): Dessiner sur un quadrillage tous les rectangles, qui peuvent se partager en trois rectangles plus petits composés de 5, 10 et 15 carreaux du quadrillage.

Croisements (ral. 09.II.04 ; cat. 3-4 ; 09rmtii_fr-4): Dénombrer les croisements obtenus en plaçant jusqu'à 10 baguettes dans deux directions.

La fermeture du bar (ral. 09.F.09 ; cat. 5-6 ; 09rmtf_fr-9): Trouver le nombre de tables (à 4 pieds et à 1 pied) dans un ensemble de meubles (chaises et tabourets à 3 pieds) connaissant le nombre total de pieds (94).

2001 Cubes (ral. 09.F.16 ; cat. 7-8 ; 09rmtf_fr-16): Trouver le nombre de cubes visibles sur les faces et le dessus d’un parallélépipède rectangle formé de 2001 cubes,dont plus de la moitié sont invisibles.

Un quotidien (ral. 11.II.13 ; cat. 6-8 ; 11rmtii_fr-13): Déterminer le nombre de pages d'un quotidien formé d’un seul cahier, dans lequel 11 pages sont consacrées au sport et où les pages 20 et 45 se trouvent sur la même face d’une feuille.

Autocollants (ral. 13.I.01 ; cat. 3-3 ; 13rmti_fr-1): Dénombrer le nombre d'autocollants répartis dans des feuilles de 10 et des enveloppes de 10 feuilles.

La plaque de voiture (ral. 13.I.07 ; cat. 4-6 ; 13rmti_fr-7): Trouver les nombres de cinq chiffres dont on connaît la somme des chiffres (en les considérant aussi comme des nombres), 22, le premier, 9, et le dernier, 8.

Les pyramides de Philippe (ral. 13.II.19 ; cat. 9-9 ; 13rmtii_fr-19): Des pyramide sont construites sous la forme de plates-formes toujours plus grandes à partir d’un petit cube gris, en l’entourant alternativement d’une bordure de petits cubes blancs puis d’une bordure de petits cubes gris. Calculer la différence entre le nombre de petits cubes de chaque couleur pour une pyramide à 5 étages et une pyramide à 11 étages.

Le mage Belcolor (ral. 14.F.02 ; cat. 3-4 ; 14rmtf_fr-2): Dénombrer le nombre de lundis, mardis, etc. du mois de mai d'une certaine année où le 3 mai était un dimanche.

Carrelage en « L » (ral. 14.F.04 ; cat. 3-5 ; 14rmtf_fr-4): Un carré est recouvert de petits carrés à partir du coin supérieur droit en entourant chaque fois la partie recouverte par une nouvelle couche en L en alternant les couleurs d'une couche à l'autre selon l'ordre noir, blanc, gris. Déterminer le nombre de petits carrés de chaque teinte sachant qu'il y a 20 couches.

Les hexagones de René (ral. 15.F.16 ; cat. 7-10 ; 15rmtf_fr-16): Déterminer le nombre de losanges nécessaires pour construire un hexagone de côté 12 fois celui d'une losange.

Les tables de tante Marie (ral. 16.II.04 ; cat. 3-4 ; 16rmtii_fr-4): Dénombrer le nombre de pièces carrées ou triangulaires (34 en tout) nécessaires pour recouvrir respectivement un carré quadrillé 5 x 5 ou une surface rectangulaire 3 x 8 aux coins biseautés.

Casquettes et maillots (ral. 17.F.02 ; cat. 3-4 ; 17rmtf_fr-2): Déterminer les points de rencontre de deux suites périodiques de longueur 90, la première basée sur le motif r, b, j, v, o, la deuxième sur le motif r, b, j, o.

Voyage en train (ral. 19.II.12 ; cat. 6-8 ; 19rmtii_fr-12): Des trains navette partent régulièrement toutes les heures de chacun des terminus à destination de l'autre bout de la ligne. Trouver le nombre de croisements effectués par un des trains durant son trajet de 10 heures.

Les images (ral. 19.F.01 ; cat. 3-3 ; 19rmtf_fr-1): Trouver toutes les décompositions de 13 en sommes de trois termes différents.

Cadre Multicolore (ral. 20.II.01 ; cat. 3-4 ; 20rmtii_fr-1): Colorier avec 3 couleurs un cadre formé de 8 carrés en respectant un certain nombre de consignes.

Tours de 36 cubes (ral. 20.F.16 ; cat. 8-10 ; 20rmtf_fr-16): Trouver les dimensions de deux parallélépipèdes rectangles (des tours) constitués de 36 petits cubes ayant le même nombre de faces de petits cubes visibles (une fois posés sur une surface) dont une dimension diffère de 3.

Gourmandises (ral. 21.I.01 ; cat. 3-4 ; 21rmti_fr-1): Déterminer le nombre de briques (parallélépipèdes rectangles) identiques contenues dans une boîte pleine – aussi en forme de brique- d’après une photo de la boîte transparente où il manque des briques et où l’on peut perçoit la structure 3 × 4 × 5.

Toujours plus grands (ral. 23.I.16 ; cat. 8-10 ; 23rmti_fr-16): Une suite de figures régulières dessinées sur quadrillage, colorées en noir et en blanc, est donnée par ses trois premiers éléments. Déterminer le rang de la figure dont la différence des aires blanches et noires est 196.

Les feuilles de l’arbre (ral. 24.I.02 ; cat. 3-4 ; 24rmti_fr-2): Dénombrer une quantité d’objets représentés sur un dessin à partir de deux copies incomplètes de ce dessin, sur lesquelles figurent tous les objets, certains figurant sur une seule copie, d’autres sur les deux.

Nombres à deux ou trois chiffres (ral. 24.I.03 ; cat. 3-4 ; 24rmti_fr-3): Trouver tous les nombres de un, deux ou trois chiffres formés avec un seul des trois chiffres 1, 2, 3, (arrangements sans répétition de 3 objets pris 1 à 1, 2 à 2 ou 3 à 3).

Escaliers (ral. 24.II.12 ; cat. 7-9 ; 24rmtii_fr-12): Trouver le rang du terme 210 dans la progression arithmétique de premier terme 9 et de raison 3 : 9, 12, 15,… Les trois premiers termes sont définis par le nombre de carrés noirs figurant dans une succession de trois figures formant des ”escaliers”.

Pyramides bicolores (ral. 24.F.13 ; cat. 6-9 ; 24rmtf_fr-13): Dans un contexte de constructions pyramidales utilisant des cubes, additionner les carrés des premiers nombres impairs et des premiers nombres pairs, sachant qu’une des deux sommes est égale à 165.

Le presse-papier suisse (ral. 27.II.06 ; cat. 4-6 ; 27rmtii_fr-6): Déterminer le nombre de cubes formant un polyèdre non convexe inscrit dans un cube, (ayant lui-même les mêmes axes et plans de symétrie que le cube)

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