RO - Paver une figure de façon optimale

Dans cette famille, la tâche consiste disposer un nombre optimal de figures données (en général des polygones) sur une surface déterminée (en général une grille) sans qu’elles ne se recouvrent.

Le concept d’aire intervient évidemment dans ces « puzzles » puisqu’il détermine théoriquement le maximum ou le minimum de pièces, mais les contraintes de forme constituent les obstacles essentiels à la disposition. Les recherches nécessitent de nombreux essais de déplacements des pièces : translations, rotations, symétries (retournements).

Remarque et suggestion

Problèmes

Pentominos (ral. 02.II.08 ; cat. 3-5 ; 02rmtii_fr-8): Placer sur une grille de 4 × 10 un nombre maximal de pentominos en forme de "W"

Pentaminos (ral. 03.I.02 ; cat. 3-3 ; 03rmti_fr-2): Paver un quadrillage de 5 x 5 par des pentaminos.

La croix (ral. 04.I.03 ; cat. 3-4 ; 04rmti_fr-3): Barrer un minimum de carrés dans un rectangle quadrillé (5 x 4) de telle manière qu'il soit impossible d'y loger une croix de 5 carrés.

Réseau triangulaire (ral. 05.F.09 ; cat. 4-6 ; 05rmtf_fr-9): Trouver le maximum et le minimum de triangles que peut contenir un polygone de périmètre 24 cm dessiné sur un réseau triangulés par des triangles de 1 cm de côté.

Tapis carrés (ral. 08.I.03 ; cat. 3-4 ; 08rmti_fr-3): Recouvrir un rectangle 22 x 12 par un minimum de carrés qui respectent le quadrillage.

Tétraminos (ral. 08.II.04 ; cat. 3-5 ; 08rmtii_fr-4): Former une figure composée des cinq tétraminos, ayant deux à deux une partie adjacente d'un ou plusieurs côtés entiers de carrés, laissant en son centre un espace (entouré entièrement de tétraminos) dont l'aire est la plus grande possible.

L'échiquier (ral. 08.II.13 ; cat. 6-8 ; 08rmtii_fr-13): Démontrer que l'on ne peut pas recouvrir un échiquier (8 x 8) mutilé de deux cases sur des coins opposés par des dominos.

Le tailleur (ral. 09.I.11 ; cat. 5-8 ; 09rmti_fr-11): Déterminer la longueur minimum d'un rectangle de largeur 120 cm de telle manière qu'on puisse y découper 3 carrés, 3 figures en forme de “L” et 3 rectangles dont les mesures sont données.

Sapins de Noël (ral. 09.F.05 ; cat. 3-5 ; 09rmtf_fr-5): Déterminer le nombre de triangles isocèles (alignés sur le quadrillage) de base et de hauteur 12 carreaux que l'on peut découper dans un feuille quadrillée 30 x 30. Déterminer le nombre de triangles que l'on pourrait fabriquer en découpant et en assemblant les morceaux restants.

Formes (ral. 10.I.11 ; cat. 6-8 ; 10rmti_fr-11): Recouvrir un rectangle de 4 x 3 avec deux rectangles de 1 x 3 et deux formes en "L" composées de trois carrés 1 x 1. Trouver tous les recouvrements.

Le drapeau (ral. 10.II.08 ; cat. 5-7 ; 10rmtii_fr-8): Recouvrir un rectangle 98 cm x 196 cm par des petits rectangles 8 cm x 20 cm espacés de 2 cm.

Etiquettes (ral. 10.F.09 ; cat. 5-7 ; 10rmtf_fr-9): Déterminer s'il est possible de découper dans une feuille rectangulaire de dimensions 19 x 24 cm : 21 étiquettes de 7 x 3 cm, ou 13 étiquettes de 7 x 5 cm, ou 19 étiquettes de 8 x 3 cm, ou 19 étiquettes de 6 x 4 cm, ou 18 étiquettes de 5 x 5 cm.

Le défi (ral. 11.F.04 ; cat. 3-5 ; 11rmtf_fr-4): Placer dans une grille de 5 x 5 le plus grand nombre de pièces en forme de L (deux branches perpendiculaires de 1 x 3 avec une extrémité commune).

Carré à recouvrir (ral. 12.I.05 ; cat. 3-5 ; 12rmti_fr-5): Recouvrir une grille de 4 x 4 avec un minimum de pièces choisies parmi deux pentominos (L et Y), deux tétraminos (T), deux triminos (L) et un domino.

Les dominos de Dominique (ral. 12.II.05 ; cat. 3-5 ; 12rmtii_fr-5): Recouvrir un tableau de 6x5 cases par des dominos en respectant les valeurs inscrites dans les cases.

La famille Duchesne (ral. 12.F.15 ; cat. 7-8 ; 12rmtf_fr-15): Déterminer le nombre maximum possible de lieux séparés entre eux et d'un point fixe de 10 m.

A la recherche du rectangle (ral. 13.I.18 ; cat. 9-9 ; 13rmti_fr-18): Recouvrir un rectangle dont un côté mesure 12 cm par 24 trapèzes rectangles identiques de périmètre 16 cm et dont tous les côtés mesurent des nombres entiers de cm tous différents.

Cartes carrées (ral. 13.F.07 ; cat. 4-6 ; 13rmtf_fr-7): Disposer dans un quadrillage de 9x9 des cartes blanches et grises avec un maximum de cartes grises mais de telle manière que chaque face grise ait au moins 7 faces voisines blanches.

Planche à recouvrir (ral. 14.I.04 ; cat. 3-5 ; 14rmti_fr-4): Trouver toutes le manières de recouvrir un carré de 3 x 3 cases par 1 rectangle de 3 cases et 3 rectangles de 2 cases.

Le foulard (ral. 14.II.05 ; cat. 3-5 ; 14rmtii_fr-5): Dans un carré pavé de triangles, rectangles et carrés, rechercher les rapports entre les côtés et les aires des différentes parties.

Les hexagones de René (ral. 15.F.16 ; cat. 7-10 ; 15rmtf_fr-16): Déterminer le nombre de losanges nécessaires pour construire un hexagone de côté 12 fois celui d'une losange.

Les tables de tante Marie (ral. 16.II.04 ; cat. 3-4 ; 16rmtii_fr-4): Dénombrer le nombre de pièces carrées ou triangulaires (34 en tout) nécessaires pour recouvrir respectivement un carré quadrillé 5 x 5 ou une surface rectangulaire 3 x 8 aux coins biseautés.

L'oliveraie (ral. 17.I.17 ; cat. 8-10 ; 17rmti_fr-17): Trouver le maximum de "points" (des arbres) que l'on peut disposer sur un terrain rectangulaire de 44 mètres sur 34 mètres, en respectant les contraintes suivantes: la distance entre deux points doit être de 6 m au minimum et la distance entre le pourtour du rectangle et chaque point doit être de 3 m au minimum.

Le soleil source d'énergie (ral. 17.II.20 ; cat. 9-10 ; 17rmtii_fr-20): Disposer le plus possible de rectangles de dimension 2,13 x 1,26 dans un trapèze de base 6 et 10 et de hauteur 5.

Le jeu de Mathieu (ral. 17.F.01 ; cat. 3-3 ; 17rmtf_fr-1): Paver une surface en utilisant le moins de pièces possible choisies parmi trois.

L’étoile et les dominos (ral. 17.F.11 ; cat. 5-8 ; 17rmtf_fr-11): Paver un carré quadrillé de 5x5, sauf une case, à l'aide de 12 dominos.

Tapis de cartes (ral. 18.F.16 ; cat. 8-10 ; 18rmtf_fr-16): Déterminer le nombre minimum de cartes (dimension 11 cm sur 7 cm) pour recouvrir un tapis rectangulaire de 50 cm sur 40 cm. Des cartes peuvent se superposer.

Des carrés de carrés (ral. 19.F.03 ; cat. 3-4 ; 19rmtf_fr-3): Décomposer un carré formé de 5 x 5 petits carrés en respectivement 10 et 13 carrés en suivant le quadrillage.

Le jeu d’Yvan (ral. 20.I.03 ; cat. 3-4 ; 20rmti_fr-3): Placer sur une grille de 4 × 10 un nombre maximal de pentominos en forme de Y

Que de carrés ! (ral. 20.F.19 ; cat. 9-10 ; 20rmtf_fr-19): Subdiviser un carré en respectivement 7, 11, 12 et 17 carrés.

Le jeu du rectangle (ral. 22.I.04 ; cat. 3-5 ; 22rmti_fr-4): Paver une grille rectangulaire de 5 × 9 carreaux avec un maximum de pièces en forme de « T » de quatre carreaux.

Les chats (ral. 23.I.03 ; cat. 3-4 ; 23rmti_fr-3): Paver une grille avec le plus grand nombre possible de figures égales à deux figures données et les colorier de deux couleurs, de manière que deux figures ayant un côté commun soient de couleurs différentes.

L'arbre d'Adèle (ral. 26.II.04 ; cat. 3-5 ; 26rmtii_fr-4): Paver chacune des deux parties d’une figure dessinée sur du papier quadrillé par trois formes données, de manière à minimiser le nombre de formes utilisées dans chaque partie.

Le vitrail (ral. 26.F.09 ; cat. 5-8 ; 26rmtf_fr-9): Dans une grille à cases carrées, tracer des rectangles permettant de la paver en connaissant pour chacun d’eux leur aire (avec une case de la grille comme unité d’aire) et l’emplacement d’une case qu’il couvre.

Une mosaïque du Maroc (ral. 27.II.18 ; cat. 8-10 ; 27rmtii_fr-18): Calculer le rapport des aires de deux types de figures d’une mosaïque, par décompositions en demi-carrés triangulaires et rectangles dont un côté est celui d’un carré et l’autre celui de sa diagonale.

Jeu hexagonal (ral. 27.F.15 ; cat. 8-10 ; 27rmtf_fr-15): Déterminer parmi sept types de pièces, chacune composée de 4 hexagones réguliers, celles qui permettent de recouvrir un plateau de jeu hexagonal composé de 36 hexagones avec un trou central.

Feuilles en papier (ral. 29.II.06 ; cat. 4-6 ; 29rmtii_fr-6): Compléter le pavage d’un quadrillage avec des polygones entiers qui ont douze côtés et un axe de symétrie; colorier toutes les figures entières avec deux couleurs, de façon à ce que deux figures ayant au moins un côté en commun soient de couleurs différentes.

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