PRG – Traiter des progressions

Cette famille concerne les problèmes où interviennent des suites de nombres régulièrement espacés qu'il s'agit de définir ou compléter en fonctions de contraintes données (somme des termes, ...).

Un grand nombre concerne des suites de nombres consécutifs, comme les nombres triangulaire, les nombres trapézoïdaux, etc. La tâche est en général de profiter de la régularité de ces suites partielles pour en déterminer la somme plus facilement.

Remarque et suggestion

Problèmes

Le tournoi de ping pong (ral. 02.F.06 ; cat. 3-5 ; 02rmtf_fr-6): Trouver le nombre total de match joués par 32 joueurs lors d'un tournoi de ping-pong à partir des 8e de finale.

Nombres consécutifs (ral. 03.II.04 ; cat. 3-5 ; 03rmtii_fr-4): Trouver des nombres compris entre 40 et 50 qui sont la somme de quatre nombres entiers consécutifs.

Catelles (ral. 03.II.10 ; cat. 4-5 ; 03rmtii_fr-10): Déterminer un nombre de catelles nécessaires pour réaliser une frise d'une longueur donnée dont le motif répété est connu.

Le collier (ral. 04.I.02 ; cat. 3-3 ; 04rmti_fr-2): Trouver et sommer les 7 premiers termes d'une progression arithmétique de raison 3 et de premier terme 4 (contexte: collier de perle).

Le ruban des nombres (ral. 05.II.03 ; cat. 3-4 ; 05rmtii_fr-3): Retirer deux nombres de la suite de 1 à 9 de manière à laisser deux parties de nombres consécutifs de même somme. Dans un contexte de ruban à découper.

Les pièces d'or d'Aladin (ral. 06.II.03 ; cat. 3-4 ; 06rmtii_fr-3): Dans la suite des sommes des premiers nombres naturels (nombres triangulaires), trouver le rang du premier terme supérieur à 62, dans un contexte de pièces d’or accumulées, une de plus chaque jour.

Labyrinthe (ral. 06.F.10 ; cat. 6-8 ; 06rmtf_fr-10): Trouver le premier terme d’une progression arithmétique de raison 1, dont la somme des huit premiers termes est à rechercher par un dénombrement de cases d’un chemin sur quadrillage.

Tournoi de ping-pong (ral. 07.I.07 ; cat. 4-5 ; 07rmti_fr-7): Dans un tournoi avec 64 inscrits déterminer le nombres de parties jouées par un demi-finaliste, le nombre de parties jouées en tout et le nom du vainqueur connaissant les demi-finalistes.

La plus longue suite (ral. 08.I.17 ; cat. 7-8 ; 08rmti_fr-17): Choisir un deuxième nombre après le premier nombre 2000 de telle manière que la suite construite par la relation: "nième nombre = différence entre le n-2ième nombre et le n-1ième nombre" soit décroissante la plus longue possible.

Les maillots du RMT (ral. 08.F.07 ; cat. 3-4 ; 08rmtf_fr-7): Retirer quatre nombres de la suite de 1 à 11 de manière à laisser deux parties de nombres consécutifs de même somme. Dans un contexte de maillots volés d’une équipe de football.

Toujours la moitié (ral. 08.F.12 ; cat. 6-8 ; 08rmtf_fr-12): Trouver le nombre de chiffres constituant le quinzième et le deux centième nombre de la progression géométrique de premier terme 1024 et de raison 1/2.

La Ferrari (ral. 08.F.16 ; cat. 8-8 ; 08rmtf_fr-16): Comparer les sommes des termes de deux progressions: l'une géométrique de raison 1/2 avec 50000 comme premier terme; l'autre de type harmonique, de premier terme 30000 pour déterminer si elles atteindront 100000.

Les caramels de Charlie (ral. 09.I.01 ; cat. 3-4 ; 09rmti_fr-1): Déterminer les trois termes d'une progression géométrique de raison 2 si leur somme est 28.

Qui a pris le plus de chocolats ? (ral. 09.I.05 ; cat. 3-5 ; 09rmti_fr-5): Déterminer la somme des six premiers termes d'une progression arithmétique de premier terme et de raison 2 (donnée par ses trois premiers termes) et de la progression "complémentaire" de premier terme 1, de raison 2.

La pyramide (ral. 09.I.16 ; cat. 7-8 ; 09rmti_fr-16): Parmi les progressions arithmétiques de premier terme 2n-1, de raison 2 et de longueur n, déterminer celle dont la somme vaut 29791.

La collection de Léon (I) (ral. 09.II.02 ; cat. 3-4 ; 09rmtii_fr-2): Déterminer le nombre de termes d'une série géométrique de premier terme et de raison 1 dont la somme vaut 91.

La collection de Léon (II) (ral. 09.II.13 ; cat. 6-8 ; 09rmtii_fr-13): Déterminer le nombre de termes d'une série géométrique de premier terme et de raison 1 dont la somme (sauf le 15e terme) vaut 2001.

Double escalier (ral. 10.I.07 ; cat. 4-6 ; 10rmti_fr-7): Déterminer le nombre de cubes de 5 cm d'arête utilisés pour construire un double escalier de 1 mètre de haut.

Remise de prix (ral. 10.I.15 ; cat. 7-8 ; 10rmti_fr-15): Déterminer les nombre de termes, et calculer la valeur du dernier, d'une progression arithmétique de premier terme et de raison 2 dont la somme vaut 77.

Course d’obstacles (ral. 11.II.02 ; cat. 3-4 ; 11rmtii_fr-2): Trouver le premier terme impair d'une suite géométrique de raison 2 aboutissant à 80.

Un quotidien (ral. 11.II.13 ; cat. 6-8 ; 11rmtii_fr-13): Déterminer le nombre de pages d'un quotidien formé d’un seul cahier, dans lequel 11 pages sont consacrées au sport et où les pages 20 et 45 se trouvent sur la même face d’une feuille.

Le ruban de Marie (ral. 11.F.02 ; cat. 3-4 ; 11rmtf_fr-2): Rechercher les suites de nombres naturels consécutifs dont la somme est 45.

Le ruban de Noé (ral. 11.F.08 ; cat. 5-6 ; 11rmtf_fr-8): Rechercher les nombres naturels consécutifs dont la somme est 105. Contexte : « ruban des nombres » ou « suite des nombres naturels », avec exemple : 34, 35, 36.

Des fleurs devant l'école (ral. 12.II.06 ; cat. 4-6 ; 12rmtii_fr-6): Terminer une progression arithmétique (premier terme 2, raison 3) et une progression arithmétique double (premier terme 3, raison de premier terme 4 et de raison 4) et calculer les sommes de sept termes.

Les nombres de Claire (ral. 12.F.14 ; cat. 6-8 ; 12rmtf_fr-14): Déterminer le nombre de chiffres après la virgule et quels sont les 4 derniers du vingtième terme d'une suite géométrique de premier terme 96 et de raison 1/2.

L’horloge (ral. 13.I.08 ; cat. 5-6 ; 13rmti_fr-8): Compter le nombre de coups sonnés par une horloge durant un jour à raison d'un coup à la demi et le nombre de coup indiqué par la petite aiguille à l'heure.

L’éventail de Julie (ral. 14.I.02 ; cat. 3-4 ; 14rmti_fr-2): Trouver le 20e terme de la progression arithmétique de premier terme 3 et de raison 2. Trouver la somme des 20 premiers termes de cette progression arithmétique (somme des nombres impairs entre 3 et 41). Contexte d'étoiles décorant un éventail.

Le cycliste (ral. 15.I.06 ; cat. 4-6 ; 15rmti_fr-6): Déterminer le premier terme d'une série arithmétique de 5 termes, de progression 6 et de somme 100.

Une fusée très rapide (ral. 15.I.22 ; cat. 10-10 ; 15rmti_fr-22): Déterminer le temps nécessaire pour une fusée d'atteindre la Lune, sachant que sa vitesse initiale est de 1 cm/s et que cette vitesse double chaque seconde.

Les verres d'Albert (ral. 16.I.02 ; cat. 3-4 ; 16rmti_fr-2): Trouver sept nombres naturels consécutifs dont la somme est 42, dans un contexte de verres à disposer sur des rayons.

Quel beau livre ! (ral. 17.II.05 ; cat. 3-5 ; 17rmtii_fr-5): Déterminer le jour où un livre de 105 pages sera lu, sachant que chaque jour ouvrable le lecteur lit une page de plus que le jour précédent.

Bougres d’ânes (ral. 17.II.12 ; cat. 6-7 ; 17rmtii_fr-12): Comparer la croissance de la somme de deux progressions géométriques (de raisons 2 et 3) de vitesses de progression différentes.

Les nombres de monsieur Trapèze (ral. 18.I.13 ; cat. 6-10 ; 18rmti_fr-13): Étant donné la suite des 44 premiers entiers naturels disposés en trapèze (sur la première ligne 0, 1, 2, sur la seconde ligne 3, 4, 5, 6, 7), trouver le dernier nombre de la trentième ligne.

Guirlandes (ral. 18.II.02 ; cat. 3-4 ; 18rmtii_fr-2): Décomposer 100 en 2 sommes chacune sous la forme d'une série arithmétique de premier terme 1 et de raison 1.

Jetons en triangles (ral. 18.F.09 ; cat. 5-7 ; 18rmtf_fr-9): Déterminer la suite des nombres triangulaires dont la somme est 120. Représenter le nombres triangulaire suivant comme somme des nombres triangulaires inférieurs.

Le deuxième chapitre (ral. 19.I.09 ; cat. 5-7 ; 19rmti_fr-9): Trouver des nombres entiers consécutifs dont la somme est donnée (98). Contexte: pages d'un livre.

La bibliothèque (ral. 19.I.14 ; cat. 7-10 ; 19rmti_fr-14): Décomposer 372 en une somme de deux termes dont l’un est le double de l’autre puis décomposer chacun de ces termes en une progression géométrique de raison 2, dans un contexte de livres sur les rayons d’une bibliothèque.

A la recherche du carré (ral. 19.II.17 ; cat. 8-10 ; 19rmtii_fr-17): Les nombres entiers (supérieurs à 0) sont énumérés horizontalement dans un tableau de 13 colonnes. Vérifier si l’on peut découper dans ce tableau deux "carrés" de 3 x 3 nombres dont les sommes valent respectivement 900 et 1062.

Les jetons (ral. 19.F.02 ; cat. 3-4 ; 19rmtf_fr-2): Trouver trois nombres formant une progression arithmétique de raison 3 dont la somme est 63.

Une spirale particulière (ral. 20.I.15 ; cat. 7-10 ; 20rmti_fr-15): Calculer la somme des 50 premiers termes de deux progressions arithmétiques (6 + 7 + … + 54 + 55) + (1 + 2 + ... + 48 + 49), à partir du dessin d’une « spirale » sur quadrillage.

Le relais de Transalpie (ral. 20.F.11 ; cat. 5-8 ; 20rmtf_fr-11): Déterminer toutes les séries de nombres entiers consécutifs dont la somme est 99.

Les cubes de Zoé (I) (ral. 23.F.06 ; cat. 4-7 ; 23rmtf_fr-6): Déterminer un entier naturel inférieur à 25 ayant 2 décompositions trapézoïdales (décompositions en sommes d’entiers).

Au théâtre (ral. 23.F.07 ; cat. 5-7 ; 23rmtf_fr-7): Trouver 5 termes successifs d'une suite arithmétique de raison 4, dont la somme est égale à 160.

Les cubes de Zoé (II) (ral. 23.F.14 ; cat. 8-10 ; 23rmtf_fr-14): Déterminer un entier naturel inférieur à 50 ayant 4 décompositions trapézoïdales (décompositions en sommes d’entiers consécutifs).

Des tours toujours plus hautes (ral. 24.II.03 ; cat. 3-4 ; 24rmtii_fr-3): Dans un contexte de construction de tours, calculer la somme des six premiers termes d’une suite géométrique de raison 2 et dont le premier terme est égal à 1.

Escaliers (ral. 24.II.12 ; cat. 7-9 ; 24rmtii_fr-12): Trouver le rang du terme 210 dans la progression arithmétique de premier terme 9 et de raison 3 : 9, 12, 15,… Les trois premiers termes sont définis par le nombre de carrés noirs figurant dans une succession de trois figures formant des ”escaliers”.

Le grillon sauteur (ral. 26.I.14 ; cat. 7-10 ; 26rmti_fr-14): Calculer le premier terme d’une succession de 7 termes dont on connaît le dernier, dans laquelle, à partir du deuxième, un terme vaut respectivement 1/2 ; 1/3 ; 1/4 ; 1/5 ; … de plus que le terme précédent.

La grille (ral. 26.II.18 ; cat. 9-10 ; 26rmtii_fr-18): Déterminer le nombre de cases d’une grille carrée, numérotées à partir de 1 en ordre croissant, de gauche à droite pour les lignes impaires et de droite à gauche pour les lignes impaires, connaissant les nombres de deux cases sur deux lignes différentes, de la même colonne, dont on ne connaît pas la position.

Le petit Poucet (ral. 27.I.02 ; cat. 3-4 ; 27rmti_fr-2): Déterminer la suite des sommes des nombres consécutifs à partir de 1 (1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; …) jusqu’au premier terme supérieur à 62, calculer la différence entre ce terme et 62 et déterminer le nombre de termes de la suite.

Le livre de Marc (ral. 27.I.07 ; cat. 4-6 ; 27rmti_fr-7): Construire une suite de nombres naturels commençant par 4, dont chaque terme est la somme du terme précédent et de son double (progression géométrique de raison 3) et déterminer le rang du premier terme de cette suite supérieur à 300.

Parcours de nombres (ral. 29.II.03 ; cat. 3-5 ; 29rmtii_fr-3): Compléter quatre suites des premiers multiples d’un nombre. Pour trois d’entre elles, on ne connait que le nombre de termes, et le dernier terme, $120$.

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