VS/OA - Dénombrements liés à une vision dans l'espace

Problèmes de dénombrements d'objets ou de figures à trois dimensions, dans des empilements, suites, etc. Bien que basés sur le décompte de cubes de pavés comme dans la catégorie DEN, ces sujets ont l’originalité de demander aux candidats d’observer une construction dont on possède un dessin statique, en perspective, sous différents points de vue afin d’imaginer les parties invisibles sur le dessin.

Cette faculté de pouvoir « donner du volume » à une représentation plane et à imaginer la vision qu’on en obtient en tournant autour ou en la tournant par rapport à soi est particulière à la géométrie dans l’espace et distingue les géomètres de ceux, nombreux, qui « ne voient pas dans l’espace ».

Remarque et suggestion

Problèmes

Le dé (ral. 04.II.01 ; cat. 3-3 ; 04rmtii_fr-1): Le “six” (six points) est dessiné sur l’un des carrés d’un développement d’un dé, dessiner les points des cinq autres carrés du développement, en précisant que la somme de deux faces opposées est 7.

La boîte de sucres (ral. 05.I.03 ; cat. 3-4 ; 05rmti_fr-3): Déterminer le nombre de morceaux de sucre d’une boîte pleine, d’après une photo de la boîte ouverte où il manque des morceaux et où l’on peut percevoir la structure 3 x 4 x 5.

Le cube (ral. 05.I.13 ; cat. 6-6 ; 05rmti_fr-13): 64 petits cubes constitue un grand cube. Donner le nombre de petits cubes n'ayant respectivement aucune, 1, 2 ou 3 (ou plus) faces visibles.

Les cubes (ral. 06.II.01 ; cat. 3-3 ; 06rmtii_fr-1): Déterminer le nombre de cubes qui manquent pour remplir une boîte transparente en forme de parallélépipède rectangle, remplie à peu près aux trois quarts et dont on peut percevoir la structure 4 x 5 x 6.

Le cube percé (ral. 08.I.10 ; cat. 5-6 ; 08rmti_fr-10): Trouver combien il faut ajouter de petits cubes à une construction des arêtes seulement (cube percé), pour compléter un cube de 4 x 4 x 4.

2001 Cubes (ral. 09.F.16 ; cat. 7-8 ; 09rmtf_fr-16): Trouver le nombre de cubes visibles sur les faces et le dessus d’un parallélépipède rectangle formé de 2001 cubes,dont plus de la moitié sont invisibles.

Points de vue (ral. 10.I.08 ; cat. 5-6 ; 10rmti_fr-8): Un cube présenté en perspective est constitué de 8 petits cubes de diverses couleurs: 2 rouges, 2 blancs, 2 verts et 2 jaunes. Déterminer la couleur du petit cubes invisible sur la représentation connaissant la couleur des sept cubes visibles

Le cube de Kubi (ral. 12.I.11 ; cat. 6-8 ; 12rmti_fr-11): Dénombrer le nombre de petits cubes constituant un cubes ajouré d'une croix tridimensionnelle.

Les gourmands (ral. 13.F.13 ; cat. 7-9 ; 13rmtf_fr-13): Classer en fonction du nombre de faces visibles les 60 petits cubes formant un parallélépipède 3 x 4 x 5. Observer la répartition des faces qui étaient visibles après une distribution des 60 cubes en 30 tas en respectant des contraintes liées à la manière de distribuer.

Un cube avec des fenêtres (ral. 15.I.21 ; cat. 9-10 ; 15rmti_fr-21): Dénombrer le nombre de petits cubes dont on peut observer resp. 0, 1, 2, 3 faces constituant un cube 4 x 4 x 4 dont on a ajouré quatre faces en retirant chaque fois 4 petits cubes.

Tours bicolores (ral. 16.I.05 ; cat. 3-5 ; 16rmti_fr-5): Calculer le nombre de cubes gris et blancs d'une tour de six étages, de couleurs alternées, disposés en carrés, et dont les côtés des étages carrés augmentent de un en un.

La boîte de Nelly (ral. 16.I.17 ; cat. 8-10 ; 16rmti_fr-17): Déterminer les dimensions entières d'un parallélépipède rectangle dont la grande diagonale mesure 15 cm.

La boîte de cubes (ral. 16.II.12 ; cat. 6-10 ; 16rmtii_fr-12): Calculer le nombre minimum de cubes de 1 et de 2 cm d'arête pour remplir une boîte p.r. de 13x8x7

Ballon de football (ral. 16.II.13 ; cat. 6-8 ; 16rmtii_fr-13): Calculer la longueur totale des coutures qui unissent les pièces d’un ballon de football : 12 pentagones réguliers et 20 hexagones réguliers dont la mesure des côtés est 4,5 cm.

Le serpent de bois (ral. 16.F.11 ; cat. 6-8 ; 16rmtf_fr-11): Un objet posé sur une table est construit avec des petits blocs empilés. Dénombrer les faces en contact avec la table et les autres.

Solides percés (ral. 17.I.20 ; cat. 9-10 ; 17rmti_fr-20): Déterminer le nombre de petits cubes utilisés pour constituer le 17e cube du suite de cubes ajourés.

La librairie (ral. 17.F.07 ; cat. 4-6 ; 17rmtf_fr-7): Déterminer le nombre de livres vendus sachant qu'ils étaient contenus dans 47 cartons de 25 livres. Le nombre de cartons est obtenu sachant qu'ils étaient empilés de façon à obtenir un grand parallélépipède de six étages, chaque étage étant constitué de trois rangées de quatre cartons chacune et dont ils ne restent que quelques cartons présentés dans une figure.

Etoile de Noël (ral. 17.F.16 ; cat. 8-10 ; 17rmtf_fr-16): Une étoile est formée d'un tétraèdre (arête de 8 cm) sur chaque face duquel est collé un petit tétraèdre (arête de 4 cm). Proposer un plan de découpage d'un rectangle 16 cm x 14 cm permettant de recouvrir l'étoile.

Finale du 18e RMT (ral. 18.F.10 ; cat. 5-8 ; 18rmtf_fr-10): Déterminer la quantité de peinture pour recouvrir un 8 et un F constitué de cubes empilés connaissant la quantité nécessaire pour recouvrir le 1.

Tours de 18 cubes (ral. 20.F.10 ; cat. 5-7 ; 20rmtf_fr-10): Déterminer les parallélépipèdes rectangles formés de 18 cubes posés sur une table dont le nombre de faces visibles est le même mais dont la différence "d'épaisseur" est 8.

Tours de 36 cubes (ral. 20.F.16 ; cat. 8-10 ; 20rmtf_fr-16): Trouver les dimensions de deux parallélépipèdes rectangles (des tours) constitués de 36 petits cubes ayant le même nombre de faces de petits cubes visibles (une fois posés sur une surface) dont une dimension diffère de 3.

Gourmandises (ral. 21.I.01 ; cat. 3-4 ; 21rmti_fr-1): Déterminer le nombre de briques (parallélépipèdes rectangles) identiques contenues dans une boîte pleine – aussi en forme de brique- d’après une photo de la boîte transparente où il manque des briques et où l’on peut perçoit la structure 3 × 4 × 5.

Yvan le confiseur (ral. 23.I.12 ; cat. 6-10 ; 23rmti_fr-12): Déterminer le nombre maximum de parallélépipèdes rectangles de dimensions extérieures 8, 3 et 5 (cm) qu’on peut disposer dans un parallélépipède rectangle de dimensions intérieures, 60, 60 et 5 (cm).

La bibliothèque (ral. 23.F.08 ; cat. 5-7 ; 23rmtf_fr-8): Dresser l’inventaire des assemblages face contre face de quatre boîtes cubiques comportant chacune cinq faces et orientées de la même façon, puis compter pour chaque assemblage, les faces « visibles » extérieures.

Les cubes de l'année (ral. 24.F.19 ; cat. 9-10 ; 24rmtf_fr-19): Déterminer les dimensions entières d’un parallélépipède rectangle de volume 2016 cm3, dont la somme des longueurs de toutes les arêtes est minimale.

Les boîtes de Catherine (ral. 26.F.07 ; cat. 4-6 ; 26rmtf_fr-7): A partir de trois développements partiels de boîtes à base carrée (sans couvercle), imaginer les solides correspondant et déterminer si on peut y placer 70 cubes de 1 cm d’arête.

Bande de papier (ral. 27.II.03 ; cat. 3-5 ; 27rmtii_fr-3): Trouver le dernier élément d'une frise de 7 éléments qui entoure les quatre faces latérales d'un prisme, sachant qu'il y a exactement 9 éléments de la frise sur chaque face.

Le presse-papier suisse (ral. 27.II.06 ; cat. 4-6 ; 27rmtii_fr-6): Déterminer le nombre de cubes formant un polyèdre non convexe inscrit dans un cube, (ayant lui-même les mêmes axes et plans de symétrie que le cube)

Tours de cubes (I) (ral. 29.I.01 ; cat. 3-4 ; 29rmti_fr-1): Trouver le nombre qui vaut 2 de moins que le dixième terme de la suite des nombres triangulaires, dans un contexte de tours dont les étages ont 1, 2, 3, …, n, n + 1, … cubes

Tours de cubes (II) (ral. 29.I.07 ; cat. 5-6 ; 29rmti_fr-7): Dans la suite des nombres naturels de 1 à 25, représentés par des pyramides régulières de cubes, calculer la différence entre la somme des nombres pairs et celle des nombres impairs.

Quel personnage choisissez-vous? (ral. 29.I.09 ; cat. 5-7 ; 29rmti_fr-9): Réaliser la partition d'un ensemble, dont le nombre d'éléments (26) est connu, en quatre sous-ensembles, dont deux sont définis par une négation et les deux autres par une comparaison (dans l'un il y a 3 éléments de plus que l'autre)

La spirale des cure-dents (I) (ral. 29.II.01 ; cat. 3-4 ; 29rmtii_fr-1): Trouver la somme des cinq premiers termes d’une suite de nombres dont on connaît les trois premiers 8, 15, 24, … (déterminés à partir du dénombrement de cure-dents disposés en spirales)

La spirale des cure-dents (II) (ral. 29.II.19 ; cat. 9-10 ; 29rmtii_fr-19): Trouver le 50e terme d’une suite de nombres 3 ; 8 ; 15 ; 24 ; 35 ; … (à déterminer à partir du dénombrement de cure-dents organisées en spirales successives)

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