MEQ/EQ1 - Résoudre une équation du premier degré

La façon "savante" de résoudre les problèmes de la famille « Etablir puis résoudre des "équations" » demande de choisir une ou plusieurs inconnues, de traduire les contraintes du problème en équations. La réponse demandée est obtenue par la résolution de l’équation ou les équations ainsi élaborées.

Dans cette sous-famille sont classés les problèmes qui peuvent conduire à une équation du premier degré à une inconnue.

Les élèves, surtout des premières catégories, peuvent trouver la ou les solutions par des essais et erreurs plus ou moins systématiques (méthode intuitive de la fausse position, tableau de valeurs, etc.).

Remarque et suggestion

Problèmes

Le panier de pommes (ral. 05.II.11 ; cat. 5-6 ; 05rmtii_fr-11): Trouver une nombre tel que le neuvième de la moitié de ce nombre soit inférieur de 10 au tiers de sa moitié (dans un contexte de partage de pommes) (cela revient à résoudre x/18 + 10 = x/6).

L'arrosoir (ral. 05.II.12 ; cat. 6-6 ; 05rmtii_fr-12): Déterminer le poids et la contenance d'un arrosoir sachant qu'il permet de remplir une cuve de 33 litres avec trois voyages de pesées 16, 18 (arrosoir plein) et 11 kg.

La famille (ral. 06.II.05 ; cat. 3-6 ; 06rmtii_fr-5): Trouver la composition d’une famille dans laquelle un garçon a autant de frères que de sœurs et une fille a le double de frères que de sœurs.

La vendange (ral. 06.II.12 ; cat. 7-8 ; 06rmtii_fr-12): Un travail (vendange) de 8 heures est payé 120 francs et une caisse de raisin. Trouver le prix de la caisse de raisin si le salaire pour 5 heures de travail équivaut à 60 francs et une caisse de raisin.

L'étendage (ral. 11.I.12 ; cat. 6-8 ; 11rmti_fr-12): Trouver la largeur d’un partie rectangulaire superposée de deux carrés voisins ; dans un alignement de 9 carrés de 32 cm de côté, sachant que les parties superposées sont toutes égales et que la longueur totale de l’alignement est 2,5 m.

L'anniversaire de maman (ral. 12.I.06 ; cat. 4-6 ; 12rmti_fr-6): Déterminer dans combien d'année la mère (40 ans) de 4 enfants (11, 9, 6 et 2 ans) aura l'âge cumulé des 4 enfants.

A la fontaine (I) (ral. 12.II.01 ; cat. 3-3 ; 12rmtii_fr-1): Trouver deux nombres, l'un triple de l'autre dont la somme est 24.

A la fontaine (II) (ral. 12.II.08 ; cat. 4-6 ; 12rmtii_fr-8): Trouver deux nombres dont la somme est 26 et tels que l'un surpasse de 2 le triple de l'autre.

Quel âge as-tu ? (ral. 13.II.02 ; cat. 3-4 ; 13rmtii_fr-2): Trouver trois nombres dont on connaît la somme (40) et les écarts respectifs de 7 et 9 entre le plus petit et les deux autres.

La nappe (ral. 14.I.11 ; cat. 6-10 ; 14rmti_fr-11): Calculer les dimensions d'une nappe sachant que sur une table rectangulaire elle retombe de de 25 cm de chaque côté et que sur la table rendue carrée en ôtant les rallonges elle retombe de 65 cm des deux côtés où les rallonges sont rentrées.

Petits gourmands (ral. 14.II.08 ; cat. 5-6 ; 14rmtii_fr-8): Trouver le nombre qui, diminué de 14 et ensuite multiplié par 3, est égal à lui-même, dans un contexte de bonbons mangés par trois enfants

Au fitness (ral. 14.II.12 ; cat. 6-10 ; 14rmtii_fr-12): Déterminer le nombre d'entrées mensuelles dans un fitness qui rend les deux modalités de payement indifférentes: somme fixe de 12 euros puis 2,50 euros ou 3 euros par présence effective.

Zéro perdant (ral. 15.F.13 ; cat. 6-8 ; 15rmtf_fr-13): Trouver un nombre de 3 chiffres comportant un chiffre 0 qui diminue de 441 en omettant le 0.

Drôle de multiplication (ral. 17.I.14 ; cat. 7-9 ; 17rmti_fr-14): Déterminer un des facteurs d'une multiplication en colonne de deux nombres de 3 chiffres dont le troisième niveau a été décalé par erreur d'un rang de trop vers la gauche et dont le résultat dépasse le bon résultat de 1 836 000.

Voitures et camions (ral. 18.II.03 ; cat. 3-4 ; 18rmtii_fr-3): Trouver le nombre tel que, lorsqu’on le diminue de 8 et lorsqu’on l’augmente de 3 on obtient deux nouveaux nombres dont la somme est 89.

Les buts du mondial (ral. 19.I.06 ; cat. 4-5 ; 19rmti_fr-6): Décomposer 145 sous la forme 12 + 19n + 19(n+1) où 19 est le nombre de pages paires et impaires, non centrales, d’un album de 40 pages et 12 est le nombre de photos collées dans les deux pages centrales.

L'âge du professeur (ral. 19.F.14 ; cat. 7-10 ; 19rmtf_fr-14): Résoudre le problème revient à résoudre l'équation 2(a + 4) – ((a – 4) –20) = 2a (dans un contexte de détermination de l'âge).

Cadeau d'anniversaire (ral. 19.F.15 ; cat. 7-10 ; 19rmtf_fr-15): Après mise en équation et simplification, le problème revient à résoudre l'équation 3x – 51 = 2x + 7 (dans le contexte d'achat pas trois amis d'un cadeau d'anniversaire).

Le chien et le renard (ral. 20.F.13 ; cat. 7-10 ; 20rmtf_fr-13): Trouver la durée nécessaire, en secondes, pour qu’un premier mobile se déplaçant à la vitesse de 85 m en 5 secondes rattrape un second mobile se déplaçant à la vitesse de 104 m en 8 secondes et partant avec 320 m d’avance sur le premier.

La cueillette des pommes (ral. 22.I.19 ; cat. 9-10 ; 22rmti_fr-19): Calculer la durée d’un travail (de 99 u) fait à trois personnes avec chacune une vitesse (8, 6, 4 u/h), et des durées différentes (1 ; ½ ; ¼), dans un contexte de récolte de pommes.

Le collier de Paola (ral. 24.F.01 ; cat. 3-3 ; 24rmtf_fr-1): Déterminer la somme de 24 et de la moitié du complément de 24 à 50.

Cadeau d'anniversaire (ral. 25.I.11 ; cat. 5-7 ; 25rmti_fr-11): Trouver le nombre dont le triple diminué de la somme de 8, 15 et 13 vaut 6 de plus que son double.

La bande de Lili (ral. 26.II.11 ; cat. 6-8 ; 26rmtii_fr-11): Calculer la mesure d’un carré formé au centre d’une bande de (4 cm ssur 30 cm) pliée trois fois de suite, dont les deux extrémités se superposent exactement après le troisième pliage.

Le collage (ral. 27.I.14 ; cat. 7-10 ; 27rmti_fr-14): Déterminer le triple d’un nombre qui, augmenté de 6, vaut 7 de moins que son double.

Le seigneur de Transalpie (ral. 27.I.16 ; cat. 8-10 ; 27rmti_fr-16): Déterminer l’intervalle des valeurs possibles du prix d’une marchandise qu’un premier acheteur ne peut pas payer car il lui manque 3,20 € alors qu'il manque 45,50 € à un deuxième acheteur et qu’ils ne peuvent pas non plus payer en réunissant leurs avoirs.

Les tulipes d’Anne (ral. 27.I.17 ; cat. 8-10 ; 27rmti_fr-17): Déterminer le nombre de points disposés sur les contours de deux carrés concentriques, à côtés parallèles et espacés de 30 cm, sachant que sur le grand carré les points sont distants de 20 cm, sur le plus petit de 15 cm et qu’il y a le même nombre de points sur chaque carré.

La tempête (I) (ral. 27.II.08 ; cat. 5-7 ; 27rmtii_fr-8): Trouver le produit de 12 et d’un nombre inconnu qui est aussi le produit de 16 et d’un nombre qui vaut 2 de moins que le nombre inconnu, puis calculer ces deux produits égaux.

Les trois fourmis (ral. 27.II.09 ; cat. 5-7 ; 27rmtii_fr-9): Trouver trois nombres naturels tels que le deuxième vaut 5 de moins que le double du premier, que le troisième et égal au deuxième et vaut 7 de plus que le premier.

L’anniversaire de Luc (ral. 27.F.07 ; cat. 5-7 ; 27rmtf_fr-7): Trouver un nombre n dont la somme de sa moitié (n/2) et de son double (2n) est 60, dans un contexte d’âges.

Les friandises de grand-mère Paulette (ral. 27.F.09 ; cat. 5-7 ; 27rmtf_fr-9): Trouver trois nombres, tels que : le second est égal au double du premier plus 5, le troisième est égal au second plus 9, et aussi égal à la somme du premier et du second.

Beaucoup de fruits (I) (ral. 28.I.02 ; cat. 3-4 ; 28rmti_fr-2): Trouver trois nombres dont la somme est 29, le plus grand est le double du deuxième et le deuxième nombre est égal au plus petit augmenté de 3.

Beaucoup de fruits (II) (ral. 28.I.09 ; cat. 5-7 ; 28rmti_fr-9): Trouver deux nombres entiers dont l’un vaut le double de l’autre et dont la somme de leurs moitiés est 36.

La meilleure pâtissière (ral. 29.II.13 ; cat. 7-8 ; 29rmtii_fr-13): Déterminer trois nombres naturels sachant que le premier est le double du deuxième, qu’il est supérieur de $2$ au troisième et qu’en lui ajoutant $4$ il est le double du troisième.

Une cure de vitamines (ral. 29.II.15 ; cat. 7-10 ; 29rmtii_fr-15): Déterminer un partage (de $35$) en quatre parties proportionnellement à $1$; $frac{3}{4}$; $frac{2}{3}$ et $frac{1}{2}$ (après avoir exprimé ces parties, par des fractions des précédentes et transformé $6 300$ en $35$ parts égales à $180$ chacune).

A trois, c'est plus vite fait (ral. 29.II.16 ; cat. 8-10 ; 29rmtii_fr-16): Calculer la durée d’une tâche à effectuer par 3 animaux ensemble, connaissant le temps que chacun d’eux met pour effectuer seul la tâche (3 h, 4 h et 6 h).

Album d'images (ral. 29.F.01 ; cat. 3-4 ; 29rmtf_fr-1): Trouver combien de fois il faut ajouter 3 à 74 pour arriver au résultat de 95 + 6.

Michèle et ses soeurs (ral. 29.F.02 ; cat. 3-4 ; 29rmtf_fr-2): Trouver un nombre entier n tel que n + (n – 3) + (n + 5) + [(n + 5) + 2] = 29.

Les billes (ral. 29.F.08 ; cat. 5-7 ; 29rmtf_fr-8): Trouver deux nombres sachant qu'en augmentant l'un de 12 et l'autre de 24, on obtient deux nombres dont la somme est 86 et la différence 14.

Décoration de ballons (ral. 30.I.07 ; cat. 5-6 ; 30rmti_fr-7): Trouver les nombres de ballons de différentes couleurs accrochés sur deux fils à partir d’un système de six relations numériques élémentaires entre les ballons de différentes couleurs sur un fil et sur l’autre ou d’un fil à l’autre. (R + J + B = r + j + b + 8 ; J = 2R ; B = 2J ; r = j/2 ; j = b ; b = J)

Les coquillages (ral. 30.II.05 ; cat. 3-5 ; 30rmtii_fr-5): Trouver 2 nombres sachant que l'un est le double de l'autre et que en soustrayant 12 au plus grand et en ajoutant 12 au plus petit on obtient 2 nombres égaux.

Boîtes de stylos (ral. 30.II.16 ; cat. 8-10 ; 30rmtii_fr-16): Déterminer la durée nécessaire pour remplir 224 boîtes (b) par trois personnes sachant qu’elles travaillent à des vitesses (22, 21, 18 b/h) et pendant des durées (1 ; 1/3, 1/6) différentes

Les feutres fluorescents (ral. 30.F.12 ; cat. 6-8 ; 30rmtf_fr-12): Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues (L = 2l et 4l + 2l + 2,5 = 2l + 4L) qui peut se ramener à une équation à une seule inconnue et peut être résolue sans algèbre par une simple relation arithmétique.

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