VP - Gérer la valeur positionnelle d'un code

La tâche essentielle des problèmes de cette famille est d'observer, puis constater, anticiper et gérer les modifications de la valeur d'un nombre lorsqu'on modifie certains de ses chiffre ou lorsqu'on les permute. Les connaissances en jeu se situent au niveau de la décomposition du nombre en unités, dizaines centaines qui fait intervenir des combinaisons d'additions et multiplications (du genre "cdu" = 100c + 10d + u). Il y a là, derrière cette tâche d'explicitation, toute la construction progressive des propriétés des opérations, de l'approche intuitive aux écritures algébriques.

Remarque et suggestion

Problèmes

Histoire de chiffres (ral. 02.II.06 ; cat. 3-5 ; 02rmtii_fr-6): Dénombrer un ensemble de nombres entiers connaissant une relation simple entre les chiffres de leur code.

L'anniversaire de Marc (ral. 04.I.10 ; cat. 4-5 ; 04rmti_fr-10): Trouver un nombre dont on connaît la somme des ses chiffres.

Vingt-cinq (ral. 04.II.08 ; cat. 3-5 ; 04rmtii_fr-8): Trouver tous les nombres compris entre 1900 et 2000 dont la somme des chiffres vaut 25.

Calculatrice à l'envers (ral. 04.II.10 ; cat. 4-5 ; 04rmtii_fr-10): Trouver le nombre de deux chiffres affiché sur une calculatrice valant 33 de moins que le nombre lu en retournant la calculatrice.

Avis de recherche (ral. 04.F.05 ; cat. 3-5 ; 04rmtf_fr-5): Trouver les nombres de trois chiffres, supérieurs à 400, dont la somme des chiffres vaut 11 et dont le chiffre des unités est égal à celui des centaines.

Téléphone (ral. 05.I.08 ; cat. 4-6 ; 05rmti_fr-8): Déterminer un nombre à partir de relations additives et multiplicatives entre ses chiffres.

Etiquettes (ral. 07.II.06 ; cat. 3-5 ; 07rmtii_fr-6): Déterminer le nombre de centaines, dizaines, unités et leur somme dans 256 dans un contexte d'emballage d'oeufs.

Palindromes (ral. 07.II.16 ; cat. 8-8 ; 07rmtii_fr-16): Trouver les couples de nombres de deux chiffres dont l'écriture de leur produit est un palindrome (peut se lire de gauche à droite comme de droite à gauche): "ab" x "cd" = "dc" x "ba".

La promenade en voiture (ral. 07.F.11 ; cat. 5-7 ; 07rmtf_fr-11): Trouver deux nombres de deux chiffres inversés puis un troisième nombre s'écrivant avec les deux mêmes chiffres que les précédents séparés par un "0", en sachant que la différence entre le premier et le deuxième nombres est égale à la différence entre le deuxième et le troisième.

La combinaison du coffre (ral. 09.F.03 ; cat. 3-4 ; 09rmtf_fr-3): Trouver combien il y a de nombres de trois chiffres, supérieurs à 400, sans "0", dont le chiffre des unités vaut la moitié du chiffre des centaines.

Les oeufs d'Anastasia (ral. 09.F.10 ; cat. 5-7 ; 09rmtf_fr-10): Trouver tous les nombres de quatre chiffres dont le premier est 1, le deuxième est 1, 2, 3 ou 4, le troisième 1, 2 ou 3, le quatrième 1 ou 2 et dont la somme est 8, dans un contexte d'oeufs pondus chaque semaine dans des nids.

Un nombre mystérieux (ral. 10.II.15 ; cat. 8-8 ; 10rmtii_fr-15): Trouver le nombre naturel de six chiffres commençant par « 1 », tel que si l’on déplace ce premier chiffre « 1 » de la première position à gauche à la dernière position à droite, le nouveau nombre de six chiffres est le triple du nombre d’origine.

Le nombre de Roger (ral. 10.F.15 ; cat. 8-8 ; 10rmtf_fr-15): Trouver les nombres décimaux composé de cinq symboles : quatre chiffres et une virgule, tels que : le nombre formé formé par les trois premiers symboles soit le 1/20 du nombre formé du dernier chiffre et tels que le nombre formé par les deux derniers symboles soit un multiple du nombre formé par le 3e et le 4e symbole.

Le nombre amputé (ral. 11.II.14 ; cat. 7-8 ; 11rmtii_fr-14): Trouver le plus grand nombre naturel obtenu en retirant une séquence de 70 chiffres du nombre composé des cinquante premiers nombres naturels écrits à la suite les uns des autres sans espaces : 12345678910111213…484950.

Economies de bougies (ral. 11.F.07 ; cat. 5-6 ; 11rmtf_fr-7): Trouver tous les âges possibles de deux personnes s’écrivant avec deux mêmes chiffres, inversés, sachant que cette année l’âge d’une des deux personnes est 85 ans.

Nombre inconnu (ral. 12.I.03 ; cat. 3-4 ; 12rmti_fr-3): Trouver le nombre naturel de deux chiffres dont la somme des chiffres est 11 et qui diminue de 45 lorsqu’on échange la place de ses deux chiffres.

Le calendrier (ral. 12.I.15 ; cat. 7-8 ; 12rmti_fr-15): Déterminer les deux chiffres qui doivent être inscrits sur deux cubes de telle manière que l'on puisse afficher tous les nombres de 01 à 31 en montrant une face des deux cubes situatés l'un à côté de l'autre.

Chiffres mobiles (ral. 12.II.16 ; cat. 7-8 ; 12rmtii_fr-16): Trouver les nombres naturels de quatre chiffres différents et non nuls dont les deux permutations des chiffres « abcd » et « dcab » représentent deux nombres dont la somme est 9613.

Jeu de cubes (ral. 14.II.01 ; cat. 3-3 ; 14rmtii_fr-1): Déterminer tous les nombres compris entre 300 et 1300 que l'n peut former en utilisant les chiffres 0, 1, 2 ou 3 (une fois).

Drôle de multiplication (ral. 14.F.15 ; cat. 7-10 ; 14rmtf_fr-15): Compléter une multiplication en colonne de deux nombres de 2 et 3 chiffres en utilisant exclusivement les chiffres 2, 3, 5, et 7.

Le marathon de Transalpie (ral. 15.I.16 ; cat. 7-10 ; 15rmti_fr-16): Rechercher les couples de nombres consécutifs compris entre 100 et 1000, formés tous les deux de seulement deux mêmes chiffres différents, et dont le somme des six chiffres du couple est 39.

L’horloge digitale (ral. 15.I.18 ; cat. 8-10 ; 15rmti_fr-18): Déterminer une heure à partir de son indication sur une horloge digitale vue dans un miroir, sachant que la différence entre l'heure exacte et l'heure "réfléchie" est de 20 minutes.

Zéro perdant (ral. 15.F.13 ; cat. 6-8 ; 15rmtf_fr-13): Trouver un nombre de 3 chiffres comportant un chiffre 0 qui diminue de 441 en omettant le 0.

Nombres impairs (ral. 15.F.17 ; cat. 7-10 ; 15rmtf_fr-17): Déterminer le nombre de nombres impairs, supérieurs à 9 500 et inférieurs à 95 000 qu'il est possible de former avec les chiffres 0, 1, 5, 8, 9.

La station d'essence (ral. 16.I.12 ; cat. 6-8 ; 16rmti_fr-12): Utiliser trois des chiffre de 1,257 (un pris en euros) et le chiffre 8 pour constituer un nouveau prix tel la différence multipliée par 40 soient comprise entre 1 et 1,30 (dans un contexte de la recherche du prix de l'essence).

Les trucs d'André (ral. 16.I.19 ; cat. 9-10 ; 16rmti_fr-19): Déterminer un nombre de deux chiffres dont on connaît la somme et la différence avec le nombre formé des chiffres inversés.

Anniversaires et bougies (ral. 16.F.14 ; cat. 7-10 ; 16rmtf_fr-14): Déterminer, s'ils peuvent exister, deux nombres formés des deux mêmes chiffres dont la différence est 36; puis 30; dans un contexte de deux bougies sur un gâteau d’anniversaire.

Devinez le nombre (ral. 18.I.14 ; cat. 7-10 ; 18rmti_fr-14): Deviner un nombres à partir de 4 assertions dont une fausse.

Marathon de Transalpie 2010 (ral. 18.I.17 ; cat. 8-10 ; 18rmti_fr-17): Trouver deux nombres formés des mêmes quatre chiffres, tous différents, tels que leur somme vaille 10000.

Le boulier (ral. 19.F.06 ; cat. 4-5 ; 19rmtf_fr-6): Trouver le plus petit nombre que l'on ne peut pas afficher sur un boulier à l'aide de 24 boules.

Les bornes de la via Aurelia (ral. 19.F.08 ; cat. 5-6 ; 19rmtf_fr-8): Donner le nombre de bornes hectométriques et le nombres de borne kilométriques présentes sur une distance de 697,330 km.

Le code de Toni (ral. 19.F.19 ; cat. 9-10 ; 19rmtf_fr-19): Trouver un nombre de 3 chiffres différents non nuls tel que si l'on additionne tous les nombres de 2 chiffres que l’on peut former avec les trois chiffres donnés et que l’on multiplie cette somme par 2, on retrouve exactement le nombres.

Une année particulière (ral. 20.I.13 ; cat. 6-8 ; 20rmti_fr-13): Trouver tous les âges des personnes dont les deux dernier chiffres de l’année de naissance sont, dans l’ordre inversé, forment l’âge qu’elles ont en 2010. Avec exemple d’une personne de 64 ans en 2010 née en 1946.

Le nombre de Sophie (ral. 20.II.08 ; cat. 5-8 ; 20rmtii_fr-8): Trouver un nombre de trois chiffres dont la suppression du chiffre des centaines revient à une division par 5.

Le nombre magique (ral. 20.II.18 ; cat. 9-10 ; 20rmtii_fr-18): Trouver les nombres de 3 chiffres qui multipliés par 143 donnent un nombre de cinq chiffres avec un zéro à la place centrale et avec deux nombres égaux situés à la gauche et à la droite du zéro.

L'anniversaire (ral. 21.I.08 ; cat. 5-7 ; 21rmti_fr-8): Trouver deux nombres de deux chiffres égaux: l’un écrit en base dix dont la somme des chiffres est 7, l’autre écrit en base douze, dont la somme des chiffres est 8; dans un contexte de bougies et gâteaux d’anniversaire.

Le marathon de Transalpie 2013 (ral. 21.II.17 ; cat. 8-10 ; 21rmtii_fr-17): Trouver deux nombres de trois chiffres tels que le premier est le triple du second, les chiffres des deux nombres sont tous différents, la somme des chiffres de chacun est 9.

Rue de la république (ral. 23.II.15 ; cat. 7-10 ; 23rmtii_fr-15): Déterminer deux nombres différents de deux chiffres sachant que le chiffre des dizaines de l’un est le chiffre des unités de l’autre et réciproquement, que leur différence est 18, leur somme est multiple de 6 et leur produit multiple de 8.

Martine et Thérèse (ral. 24.F.21 ; cat. 5-5 ; 24rmtf_fr-21): Déterminer deux nombres formés des deux mêmes chiffres dont la somme est 99 et la différence est supérieure à 40 et inférieure à 50, dans un contexte de deux bougies sur un gâteau d’anniversaire.

Les anniversaires (ral. 25.II.12 ; cat. 6-8 ; 25rmtii_fr-12): Trouver tous les couples possibles de nombres à deux chiffres dans lequel le chiffre des dizaines de l’un correspond au chiffre des unités de l’autre et vice versa, donnant la même différence.

Tout à moins de 3 euros (ral. 26.I.10 ; cat. 6-8 ; 26rmti_fr-10): Dans un contexte de prix inférieurs à 3 euros, trouver toutes les paires de nombres décimaux (avec unités, dixièmes et centièmes) formés de trois mêmes chiffres, tous différents les uns des autres, et telles que la différence entre les deux nombres est 72 centièmes.

Nombres particuliers (ral. 26.I.18 ; cat. 9-10 ; 26rmti_fr-18): Déterminer les nombres entiers de trois chiffres tels que, en remplaçant le chiffre des dizaines par une virgule, on obtient un résultat qui est la 90e partie du nombre.

Boîtes de craies I (ral. 26.II.08 ; cat. 5-8 ; 26rmtii_fr-8): Chercher tous les nombres inférieurs à 200 dont le nombre des dizaines est le double de celui qui est donné par le chiffre des

Boîtes de craies (II) (ral. 26.II.16 ; cat. 9-10 ; 26rmtii_fr-16): Chercher un nombre n tel que divisé par le nombre de ses dizaines, le reste de la division soit égal à la moitié du diviseur.

Jeu de fléchettes (ral. 26.F.06 ; cat. 4-6 ; 26rmtf_fr-6): Trouver tous les nombres possibles de termes 1, 10 et 100 (au maximum 25) dont la somme est 123.

Nombres et dés (ral. 26.F.11 ; cat. 6-8 ; 26rmtf_fr-11): Écrire 12 chiffres, de 0 à 9, sur les faces de deux dés cubiques de manière qu'en les disposant judicieusement, on puisse présenter la suite des nombres entiers à partir de 10 sans interruption et en obtenir le plus grand nombre possible.

Une étrange multiplication (ral. 26.F.14 ; cat. 7-10 ; 26rmtf_fr-14): Reconstituer une multiplication d’un facteur de trois chiffres par un facteur de deux chiffres selon une disposition en colonnes « vide », en sachant que seuls les chiffres 2, 3, 5 et 7 ont été utilisés.

La carte routière (ral. 27.I.08 ; cat. 5-6 ; 27rmti_fr-8): Replacer les virgules qui ont été supprimées dans l’écriture 38 + 12 + 56 + 195 pour que cette somme soit égale à 40,9.

Le coffre-fort (ral. 27.F.04 ; cat. 3-4 ; 27rmtf_fr-4): Trouver un nombre de trois chiffres tous différents à partir de cinq indications sur les chiffres « corrects » et/ou « bien placés ».

Thomas joue avec les nombres (ral. 29.I.20 ; cat. 9-10 ; 29rmti_fr-20): Déterminer tous les nombres entiers de trois chiffres abc, avec 0 < a < b < c, dont la somme des six permutations de leurs trois chiffres est 4218.

Thomas joue avec les nombres (ral. 29.I.20 ; cat. 9-10 ; 29rmti_fr-20): Déterminer tous les nombres entiers de trois chiffres __abc__, avec 0 < a < b < c, dont la somme des nombres formés par les six permutations de leurs trois chiffres est 4218.

Beaucoup de zéros (ral. 29.II.20 ; cat. 9-10 ; 29rmtii_fr-20): Trouver le plus petit produit formé de facteurs différents choisis parmi les nombres naturels de $1$ à $30$ dont l’écriture se termine par un maximum de zéros.

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