DIV – Rechercher des multiples et diviseurs

Dans la tâche de résolution de ces problèmes, il faut reconnaître les multiples ou diviseurs d’un nombre, les multiples communs ou diviseurs communs qui permettront de simplifier les procédures de résolution, de réduire les inventaires de solutions à envisager, …

Remarque et suggestion

Problèmes

Les deux corvées (ral. 02.F.05 ; cat. 3-5 ; 02rmtf_fr-5): Deux événements sont simultanés le 1 juin. Trouver la date où les deux se reproduiront ensembles, sachant que l'un se passe toutes les deux semaines, l'autre tous les trois jours.

Le chemin (ral. 04.II.02 ; cat. 3-3 ; 04rmtii_fr-2): Décomposer 57 en somme de (11 + 8) dans le contexte de construction par les deux bouts d'un chemin de longueur connue.

Les pas de géant (ral. 05.I.04 ; cat. 3-4 ; 05rmti_fr-4): Rechercher des multiples communs de 3 et 5, dans un contexte de parcours de cases numérotées de 1 à 100 où deux enfants sautent respectivement de 3 en 3 et de 5 en 5.

Ribambelle (ral. 05.F.04 ; cat. 3-4 ; 05rmtf_fr-4): Dénombrer le nombre de bonhommes d'une ribambelle que l'on peut construire avec 5 boîtes de 34 allumettes.

Table de multiplication (ral. 06.F.05 ; cat. 3-5 ; 06rmtf_fr-5): Déterminer les apparitions du nombre 72 dans une table de multiplication des nombres de 1 à 25 (25 lignes) par les nombres de 1 à 70 (70 colonnes).

Etoiles (ral. 06.F.14 ; cat. 8-8 ; 06rmtf_fr-14): Déterminer le nombre de polygones étoilés réguliers de 15 sommets que l'on obtient en les reliant d'un seul trait, sans lever le crayon.

Mauvais voisins (ral. 07.II.10 ; cat. 6-7 ; 07rmtii_fr-10): Placer les nombres de 1 à 10 dans un tableau de telle manière que dans deux cases adjacentes (1 côté commun) les nombres soient premier entre eux et leur différence soit supérieure à 1.

Bouquets (ral. 07.F.03 ; cat. 3-4 ; 07rmtf_fr-3): Trouver le nombre de bouquets composés de 3 roses et 4 tulipes que l'on peut préparer avec 55 roses et 70 tulipes.

Divisiblité (ral. 08.II.10 ; cat. 6-8 ; 08rmtii_fr-10): Dénombrer le nombre de nombres de trois chiffres non divisibles par 10, 5 et 11.

Date paire (ral. 08.F.08 ; cat. 5-6 ; 08rmtf_fr-8): Déterminer la date précédent le 2 février 2000 (02.02.2000) s'écrivant qu'avec des chiffres pairs.

Toujours la moitié (ral. 08.F.12 ; cat. 6-8 ; 08rmtf_fr-12): Trouver le nombre de chiffres constituant le quinzième et le deux centième nombre de la progression géométrique de premier terme 1024 et de raison 1/2.

La plaque d’immatriculation (ral. 10.I.12 ; cat. 6-8 ; 10rmti_fr-12): Trouver un nombre de 6 chiffres divisible par 3 tel que si on lit le nombre de gauche à droite, chaque chiffre forme un nombre plus grand que celui qui le précède. De plus chaque nombre de 2 chiffres obtenu en découpant ce nombre initial en trois tranches est premier.

En sautant (ral. 10.F.04 ; cat. 3-5 ; 10rmtf_fr-4): Trouver le 9e multiple commun de 3, 4 et 6. Dans un contexte de cases où se trouvent les traces d’animaux sautant de 3 en 3, de, 4 en 4 et de 6 en 6 sur une piste des nombres naturels

Produits en ligne (ral. 10.F.10 ; cat. 5-8 ; 10rmtf_fr-10): Placer les nombres de 1 à 9 dans un diagramme où l'on connaît le produit des nombres alignés 3 par 3.

La photo souvenir (ral. 10.F.14 ; cat. 7-8 ; 10rmtf_fr-14): Déterminer un nombre N dont on connaît trois formes de décomposition: r x n tel ; (r+1) x (n-1) - 4 et (r+1) x (n-2).

Les trains de Marie (ral. 12.I.01 ; cat. 3-3 ; 12rmti_fr-1): En utilisant des nombres de 1 à 9, former toutes les suites possibles sont des progressions géométriques de raison 2.

Voyages (ral. 12.II.12 ; cat. 6-8 ; 12rmtii_fr-12): Déterminer une distance qui peut être parcourue en un nombre entier d'heures par des véhicules roulant respectivement à 20, 40 et 60 km/h.

C'est l'heure (ral. 12.F.12 ; cat. 6-8 ; 12rmtf_fr-12): Déterminer les quatre chiffres donnant l'heure digitale sachant que leur somme est 17 et leur produit 90.

Les camarades de Judith (ral. 13.II.09 ; cat. 5-6 ; 13rmtii_fr-9): Déterminer un nombre n (d'élèves) sachant qu'il est divisible par 2, 3 et 7 et qu'il est compris entre 4 x 20 et 4 x 30.

Les fleurs de Rosalie (ral. 14.I.05 ; cat. 3-5 ; 14rmti_fr-5): Décomposer 48 en trois nombres les deuxième et le troisième étant respectivement le double et le triple du premier.

Triathlon (ral. 14.I.06 ; cat. 4-5 ; 14rmti_fr-6): Déterminer la date à laquelle un sportif s'entraînera à la fois à la natation, au vélo et à la course à pied, sachant qu'il s'entraîne à la natation tous les 5 jours à partir du 1 mai; qu'il s'entraîne au vélo tous les trois jours à partir du 4 mai et qu'il s'entraîne à la course à pied tous les quatre jours à partir du 5 mai.

Le numéro de téléphone (ral. 14.I.13 ; cat. 6-10 ; 14rmti_fr-13): Déterminer un nombre de 6 chiffres sachant que: le premier et le dernier chiffres sont identiques et représentent un nombre impair; le troisième et le quatrième chiffres forment un nombre égal au tiers du nombre formé par les deux premiers chiffres; et que les trois derniers chiffres représentent trois nombres consécutifs qui se suivent dans l’ordre croissant.

Les cubes de l'année (ral. 14.I.16 ; cat. 9-10 ; 14rmti_fr-16): Déterminer les dimension d'une feuille de carton, dont les dimensions sont les plus petites possibles, permettant de construire une boîte (sans couvercle) pouvant contenir 2006 cubes de bois de 1 cm d'arête.

Pas de gaspillage (ral. 14.F.07 ; cat. 4-6 ; 14rmtf_fr-7): Trouver la manière de découper entièrement une feuille de dimension 24 x 24 cm en rectangle de 6 x 8 cm.

Les deux échelles (ral. 14.F.13 ; cat. 7-10 ; 14rmtf_fr-13): Calculer la longueur de deux échelles de même longueur, dont le premier et le dernier échelon sont à la même distance du sol. Sur l’une, les échelons sont distants de 20 cm et sur l’autre de 30 cm. Lorsqu'on les pose l’une contre l’autre on ne voit alors que 45 échelons.

Solidarité pour l'Afrique (ral. 15.I.15 ; cat. 7-9 ; 15rmti_fr-15): Décomposer 5900 en une somme de termes 190, 120 et 70 où le terme 190 (issu d'un raisonnement annexe) doit figurer un maximum de fois.

La fanfare de carnaval (ral. 15.II.18 ; cat. 8-10 ; 15rmtii_fr-18): Déterminer un nombre multiple de 3, supérieur à 3 x 25, inférieur à 6 x 25, tel que diminué de 1 est divisible par 4, diminué de 2 est divisible par 5, diminué de 3 est divisible par 6.

Jeu des multiples et diviseurs (ral. 16.I.11 ; cat. 6-8 ; 16rmti_fr-11): Jeu de « Nim » sur une grille des nombres de 1 à 40 consistant à barrer un multiple ou un diviseur du nombre barré par l’adversaire au coup précédent, le perdant étant celui qui ne peut plus jouer.

La calculatrice de Pascal (ral. 16.I.16 ; cat. 7-10 ; 16rmti_fr-16): Déterminer le nombre de 2 chiffres divisibles par 7 tel que l'on obtienne 24 en trois opérations choisies parmi la division euclidienne par 10 et la prise du double.

Le manège (ral. 16.II.17 ; cat. 8-10 ; 16rmtii_fr-17): Déterminer le nombre minimum de tours complets sur son axe que doit faire un disque de 3 m de diamètre roulant sur un disque de 8 m de diamètre pour qu'il se retrouve dans la même position qu'au départ.

Le prix des salades (ral. 16.F.06 ; cat. 4-5 ; 16rmtf_fr-6): Comparer le prix de six salades selon trois offres différentes: 1,50 euros la salade et 3 salades pour 2; 1,20 euros la salade et 4 salades pour 3; 1 euro la salade.

Treize à table (ral. 16.F.17 ; cat. 8-10 ; 16rmtf_fr-17): Rechercher le 2008e chiffre après la virgule d'un nombre obtenu comme quotient d'un nombre décimal par un nombre entier.

Factorielles (ral. 17.I.16 ; cat. 7-10 ; 17rmti_fr-16): Déterminer le nombre de zéros qui "terminent" les nombres 22! et 27! .

Quel beau livre ! (ral. 17.II.05 ; cat. 3-5 ; 17rmtii_fr-5): Déterminer le jour où un livre de 105 pages sera lu, sachant que chaque jour ouvrable le lecteur lit une page de plus que le jour précédent.

La traversée du fleuve (ral. 17.II.14 ; cat. 6-8 ; 17rmtii_fr-14): Déterminer un multiple commun de 21 et 9 compris entre 100 et 200 dans un contexte de traversée de rivière en grande et petite barques.

L’artisan (ral. 17.II.18 ; cat. 8-10 ; 17rmtii_fr-18): Trouver un nombre tel que le produit de la différence entre 13 et ce nombre par la somme de 24 et du triple de ce nombre soit égal au produit de 13 et de 24, dans un contexte de compensation d’un manque à gagner.

Le dé de monsieur Multiplitout (ral. 18.I.16 ; cat. 8-10 ; 18rmti_fr-16): Trouver tous les choix possibles de six nombres, trois nombres pairs différents et trois nombres impairs différents, que l'on peut regrouper en paires dont le produit inférieur à 50 est toujours le même et différent des nombres de départ (les nombres sont disposés sur les faces d'un dé).

Le pré du père François (I) (ral. 18.II.14 ; cat. 7-8 ; 18rmtii_fr-14): Trouver les dimensions d’un rectangle de 42 m2 et de 20 m de périmètre partiel, composé de trois côtés, dans un contexte d’enclos rectangulaire adossé à une ancienne clôture.

Produits en triangles (I) (ral. 20.F.12 ; cat. 6-8 ; 20rmtf_fr-12): Placer dans un triangle subdivisé en neuf triangles, le nombres de 1 à 9 de telle manière que les produits des nombres alignés soient égaux à des nombres donnés.

Produits en triangles (II) (ral. 20.F.18 ; cat. 9-10 ; 20rmtf_fr-18): Placer dans un triangle subdivisé en neuf triangles, le nombres de 1 à 9 de telle manière que les produits des nombres alignés soient égaux à des nombres donnés.

Petits et grands gobelets (ral. 21.II.05 ; cat. 3-5 ; 21rmtii_fr-5): Trouver combien de bouteilles entières il faut ouvrir pour remplir 23 grands gobelets à raison d’une bouteille pour 5 gobelets et 28 petits gobelets à raison d’un bouteille pour 8 gobelets.

L'escalier (ral. 22.I.12 ; cat. 6-8 ; 22rmti_fr-12): Deux personnes montent les marches d’un escalier en partant du pied gauche, l’une deux par deux en arrivant du pied droit sur la dernière marche, l’autre trois par trois en arrivant du pied gauche sur la dernière marche. Il y a 10 marches sur lesquelles toutes les deux ont posé le pied gauche. Trouver le nombre de marches de l’escalier.

Une famille d'elfes (ral. 22.II.08 ; cat. 5-6 ; 22rmtii_fr-8): Trouver l’entier naturel compris entre 990 et 1000 divisible par 2 et 3 et calculer la différence entre ce nombre et 1000, dans un contexte de problème d’âges.

Visites chez grand-mère (ral. 23.F.04 ; cat. 3-5 ; 23rmtf_fr-4): Trouver le 1er élément commun, autre que 1, à 3 suites arithmétiques de premier terme 1 et de raisons 2, 4 et 5.

Roses et tulipes (ral. 23.F.18 ; cat. 9-10 ; 23rmtf_fr-18): Trouver, parmi les couples de nombres naturels (N; M) tels que 3M = 4N + 4 celui pour lequel la somme 15N + 22M est inférieure et la plus proche de 400; dans un contexte de bouquets de fleurs.

Arbres de Noël à Milan (ral. 24.I.10 ; cat. 5-7 ; 24rmti_fr-10): Déterminer les moments où trois événements périodiques (de périodes 12, 14 et 18 minutes) se produisent simultanément d’une première coïncidence, à 15h00, jusqu’à minuit.

L’équipe de volley (ral. 24.II.09 ; cat. 5-8 ; 24rmtii_fr-9): Déterminer six diviseurs de 36 tous différents, dont deux sont impairs et dont la somme est inférieure à 50, et tels qu’ils forment trois couples de nombres dont l’un est le double de l’autre.

Les chocolats de Zoé (ral. 24.F.10 ; cat. 5-7 ; 24rmtf_fr-10): Trouver le plus grand nombre inférieur à 30 qui peut s’écrire de cinq manières différentes sous forme de produit de deux nombres naturels, différents ou non, et calculer le complément de ce nombre à 30.

Collection de cartes postales (ral. 24.F.12 ; cat. 6-8 ; 24rmtf_fr-12): Chercher tous les nombres inférieurs à 200 divisibles par 5, et dont le reste de la division par 2,3 et 7 soit égal à 1.

Les cubes de l'année (ral. 24.F.19 ; cat. 9-10 ; 24rmtf_fr-19): Déterminer les dimensions entières d’un parallélépipède rectangle de volume 2016 cm3, dont la somme des longueurs de toutes les arêtes est minimale.

Nombres de six chiffres (ral. 25.I.18 ; cat. 8-10 ; 25rmti_fr-18): Trouver les nombres formés des six chiffres 1, 2, 3, 4, 5, et 6, divisibles par 6, tels que le nombre formé des cinq premiers chiffres est divisible par 5, celui formé par les quatre premiers chiffres est divisible par 4, celui formé par les trois premiers chiffres est divisible par 3 et celui formé par les deux premiers chiffres est divisible par 2.

Sac de haricots (ral. 25.II.15 ; cat. 8-10 ; 25rmtii_fr-15): Déterminer le nombre compris entre 1400 et 1700, dont les restes des divisions de ce nombre par 2, 3, 5 et 7 sont respectivement 1, 0, 2 et 5.

Les tours (ral. 26.II.07 ; cat. 5-7 ; 26rmtii_fr-7): Trouver un nombre inférieur à 50 qui dépasse de 2 un multiple de 3, de 1 un multiple de 4, et de 4 un multiple de 5

Tous assis (ral. 27.F.03 ; cat. 3-4 ; 27rmtf_fr-3): Éliminer les multiples de 2 et les multiples de 3 dans une succession cyclique à partir du comptage de 21 éléments, dans un contexte de joueurs disposés en cercle.

La tirelire (ral. 29.I.14 ; cat. 7-10 ; 29rmti_fr-14): Trouver quels sont les diviseurs de 540 , qui peuvent être la somme de quatre termes différents choisis parmi 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100 et 200 dans un contexte de pièces de monnaie

Parcours de nombres (ral. 29.II.03 ; cat. 3-5 ; 29rmtii_fr-3): Compléter quatre suites des premiers multiples d’un nombre. Pour trois d’entre elles, on ne connait que le nombre de termes, et le dernier terme, $120$.

Nombres cachés (ral. 29.II.04 ; cat. 3-5 ; 29rmtii_fr-4): Compléter un produit de trois facteurs égal à $80$ dont un des facteurs est $5$ et donner toutes les solutions composées de nombres naturels.

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