CO - Chercher des combinaisons ou des arrangements

Les problèmes de cette famille sont caractérisés par la recherche les configurations de collections finies d'objets et leur dénombrements. La tâche est d’établir l’inventaire des différents rangements, dispositions, combinaisons, permutations, … sans disposer (évidemment) des formules de la combinatoire ni d’aucun résultat théorique sur les ensembles finis.

Les élèves doivent reconnaître les différents éléments de la situation, leur nombre, les modalités de les associer. Pour dénombrer les « possibilité », ils peuvent créer des listes, des inventaires organisés, des schémas, des représentation graphiques (dont l’arbre), des dispositions (esquisses de tableaux) et parfois des opérations arithmétiques, dont en particulier la multiplication.

Remarque et suggestion

Problèmes

D'un seul trait (ral. 02.I.07 ; cat. 3-5 ; 02rmti_fr-7): Trouver plusieurs manières de dessiner une figure en un seul tracer de crayon et sans passer deux fois sur un même segment.

Histoire de chiffres (ral. 02.II.06 ; cat. 3-5 ; 02rmtii_fr-6): Dénombrer un ensemble de nombres entiers connaissant une relation simple entre les chiffres de leur code.

Chiffres impairs (ral. 02.F.04 ; cat. 3-4 ; 02rmtf_fr-4): Dénombrer tous les nombres inférieurs à 100 dont tous les chiffres sont impairs.

1994 (ral. 02.F.09 ; cat. 5-5 ; 02rmtf_fr-9): Trouver le nombre de nombres que l'on peut composer avec un chiffre "1", un chiffre "4" et deux chiffres "9".

Le grand huit (ral. 03.I.12 ; cat. 4-5 ; 03rmti_fr-12): Obtenir 1000 en utilisant 8 fois le chiffre 8 et des additions.

Les copains d'abord (ral. 04.II.03 ; cat. 3-4 ; 04rmtii_fr-3): Dénombrer le nombre de poignées de main dans un groupe de 7 personnes où chacune salue toutes les autres.

Les absents (ral. 05.F.01 ; cat. 3-3 ; 05rmtf_fr-1): Compléter l'ensemble de tous les arrangements des trois chiffres 3, 5 et 7.

Monnaies de Transalpie (ral. 05.F.10 ; cat. 5-6 ; 05rmtf_fr-10): Trouver tous les nombres compris entre 1 et 50 que l'on peut écrire comme combinaison linéaire (entière) de 4 et 7.

Voyage touristique (ral. 05.F.11 ; cat. 5-6 ; 05rmtf_fr-11): Fabriquer des 5-uples de villes (prise dans une liste donnée), chacune d'un canton différent et débutant par une lettre différente.

Le code (ral. 06.I.04 ; cat. 3-4 ; 06rmti_fr-4): Trouver le nombre de codes possibles débutant par 1 ou 2 et suivi de cinq lettres prises parmi quatre.

Les billes de Billy (ral. 06.I.06 ; cat. 3-6 ; 06rmti_fr-6): Décomposer 42 en somme de sept nombres naturels différents dont 1 est le plus petit et 10 le plus grand, tels qu’un seul des nombres soit la moitié d’un autre.

Tous les chemins mènent à ... B ! (ral. 06.I.07 ; cat. 3-8 ; 06rmti_fr-7): Dénombrer le nombre de chemins reliant les deux extrémités d'un quadrillages 4 x 3. Les chemins doivent suivre le quadrillage sans recul.

Les jetons de Michela (ral. 06.II.07 ; cat. 3-8 ; 06rmtii_fr-7): Dénombrer le nombre de façons de disposer 3 jetons dans une grille 3 lignes x 5 colonnes de sorte qu'il y ait un jeton dans chaque ligne et qu'il n'y ait pas plus d'un jeton dans chaque colonne.

En pédalant (ral. 06.II.09 ; cat. 5-8 ; 06rmtii_fr-9): Déterminer une permutation de trois éléments connaissant l'état initial et l'état après de 4 répétitions de la permutation. Déterminer l0état après 23 répétitions de la permutation.

Coloriages (I) (ral. 07.I.05 ; cat. 3-4 ; 07rmti_fr-5): Trouver toutes les possibilités de colorier 3 objets avec 4 couleurs.

Coloriages (II) (ral. 07.I.10 ; cat. 5-6 ; 07rmti_fr-10): Trouver toutes les possibilités de colorier 3 objets avec 5 couleurs.

Livres en désordre (ral. 07.II.07 ; cat. 4-6 ; 07rmtii_fr-7): Déterminer le nombre d'échange de deux chiffres adjacents de la suite 513642 pour constituer 123456.

Triangles (ral. 07.II.09 ; cat. 6-7 ; 07rmtii_fr-9): Déterminer combien de triangles on peut former en utilisant 3 baguettes parmi les 5 de longueurs 15, 18, 30, 33 et 46 cm.

Le cahier de quinze (ral. 08.I.13 ; cat. 6-8 ; 08rmti_fr-13): Chercher le plus petit nombre dont la somme des chiffres est 15 et le nombre de ceux, inférieurs à 1000, ayant la même propriété.

Espace couleur (ral. 08.II.06 ; cat. 3-5 ; 08rmtii_fr-6): Dénombrer le le nombre de façon s que l'on peut juxtaposer en ligne 5 carrés: 1 jaune, 2 bleus et 2 rouges, de telle manière que deux carrés qui se touchent ne soient pas de la même couleur.

L'ascenseur (ral. 08.II.07 ; cat. 4-6 ; 08rmtii_fr-7): Trouver les possibilités obtenir 290 en une somme de nombres pris parmi 105, 73, 87, 58, 46, 76, 90, 21 ,125, 81, 95.

Dates magiques (ral. 08.II.09 ; cat. 5-8 ; 08rmtii_fr-9): Déterminer toutes les dates comprises entre le 6 février 1993 et la fin du millénaire telles que le produit du jour par le mois donne l'année.

Les brochettes (I) (ral. 09.I.08 ; cat. 5-6 ; 09rmti_fr-8): Déterminer les nombre de permutations de 4 lettres A, B, C, D sans tenir compte du sens de lecture et sans que A et B soient voisines.

Les brochettes (II) (ral. 09.I.14 ; cat. 7-8 ; 09rmti_fr-14): Déterminer les nombre de permutations de 5 lettres A, B, C, D, E sans tenir compte du sens de lecture et sans que A et B soient voisines.

L'octaèdre (ral. 09.I.17 ; cat. 8-8 ; 09rmti_fr-17): Trouver tous les types de triangles déterminés par trois sommets d’un octaèdre, à partir d’une "photo" d’un octaèdre dont toutes les arêtes sont dessinées.

Bar du parc (ral. 09.II.03 ; cat. 3-4 ; 09rmtii_fr-3): Déterminer le nombre total des arrangements de 4 éléments pris un à un, deux à deux, trois à trois et quatre à quatre, dans un contexte de cocktails.

Une photo entre amies (ral. 09.II.10 ; cat. 5-8 ; 09rmtii_fr-10): Déterminer le nombre de possibilités de placer 5 objets en une rangée de deux et une rangée de 3 (l'ordre compte) et de telle manière que deux des objets soient toujours côte-à-côte.

Les jetons (ral. 09.F.01 ; cat. 3-3 ; 09rmtf_fr-1): Décomposer 30 en une somme de 5 termes qui se répartissent en respectivement 2 et 3 termes égaux.

Puzzle de quatre pièces (ral. 10.I.04 ; cat. 3-5 ; 10rmti_fr-4): Recouvrir un rectangle à l'aide de 4 pièces, deux de chaque sorte.

Solitaire (ral. 10.I.05 ; cat. 3-5 ; 10rmti_fr-5): Déterminer combien de cartes faut-il prendre dans un jeu constituer de 16 cartes, identiques quatre par quatre, pour obtenir soit trois cartes identiques, soit trois cartes toutes différentes.

Formes (ral. 10.I.11 ; cat. 6-8 ; 10rmti_fr-11): Recouvrir un rectangle de 4 x 3 avec deux rectangles de 1 x 3 et deux formes en "L" composées de trois carrés 1 x 1. Trouver tous les recouvrements.

Nombres au sommet (ral. 10.II.11 ; cat. 6-8 ; 10rmtii_fr-11): Placer les nombres de 1 à 9 de gauche à droite de telle manière que la somme des trois nombres aux positions 2, 3 et 4 soit de 1 supérieure à la somme des nombres aux positions 1, 2, et 3 et que la somme des trois nombres aux positions 3, 4 et 5 soit de 1 supérieure à la somme des nombres aux positions 2, 3, et 4, et ainsi de suite.

Les sauts de Félix (ral. 11.I.05 ; cat. 3-5 ; 11rmti_fr-5): Déterminer toutes la manières de décomposer 11 en sommes de 2 et de 3.

Quatre à quatre (ral. 11.II.12 ; cat. 6-8 ; 11rmtii_fr-12): Déterminer le nombre de nombres naturels que l'on peut obtenir en utilisant quatre fois le nombre 4, les opérations arithmétiques (+, -, x, :) et des parenthèses.

Les boutons d'Ernest (ral. 11.F.01 ; cat. 3-4 ; 11rmtf_fr-1): Déterminer le nombre de combinaisons sont possibles avec trois objets.

Que de pairs ! (ral. 11.F.15 ; cat. 7-8 ; 11rmtf_fr-15): Former tous les nombres pairs de trois chiffres formés uniquement avec les chiffre 0, 1, 2, 3 et 4 et calculer leur somme.

Les trains de Marie (ral. 12.I.01 ; cat. 3-3 ; 12rmti_fr-1): En utilisant des nombres de 1 à 9, former toutes les suites possibles sont des progressions géométriques de raison 2.

Dés de couleur (I) (ral. 12.I.02 ; cat. 3-4 ; 12rmti_fr-2): Trouver le nombre de façon de former 6 en lançant trois dés de couleurs différentes.

Dés de couleur (II) (ral. 12.I.09 ; cat. 5-7 ; 12rmti_fr-9): Trouver le nombre de façon de former 9 en lançant trois dés de couleurs différentes.

Le champagne de minuit ! (ral. 12.I.10 ; cat. 5-8 ; 12rmti_fr-10): Chercher le nombre de paires différentes que l'on peut constituer avec 16 objets.

Le calendrier (ral. 12.I.15 ; cat. 7-8 ; 12rmti_fr-15): Déterminer les deux chiffres qui doivent être inscrits sur deux cubes de telle manière que l'on puisse afficher tous les nombres de 01 à 31 en montrant une face des deux cubes situatés l'un à côté de l'autre.

Jeu de cartes (ral. 12.II.15 ; cat. 7-8 ; 12rmtii_fr-15): Déterminer quatre nombres différents inférieurs ou égaux à 13, tels qu'ils puissent former toutes les sommes de 1 à 13.

Les « Bipalindromes » (ral. 13.I.13 ; cat. 7-9 ; 13rmti_fr-13): Dénombrer le nombre de six chiffres différents de 0 constitués de deux palindromes de trois chiffres.

Le trésor dans le coffre-fort (ral. 13.II.11 ; cat. 6-8 ; 13rmtii_fr-11): Dénombrer le nombre des fois que l'on peut obtenir 21 en additionnant 8 nombres compris entre 2 et 12.

Les oncles de Pierre (ral. 13.II.13 ; cat. 6-9 ; 13rmtii_fr-13): Déterminer l'ordre de visite d'un enfant chez ses trois oncles connaissant les temps de parcours entre les domiciles de chacun de telle manière à minimiser le temps des déplacements.

Numéros gagnants (ral. 13.II.16 ; cat. 7-9 ; 13rmtii_fr-16): Calculer combien de billets, parmi 2000 numéroté de 1 à 2000, à 1 euro faut-il vendre pour pouvoir donner 10 euros aux numéros gagnants et être certain de ne pas perdre de l'agent. Un numéro gagnant est formé de 2, 3 ou 4 chiffres consécutifs en ordre croissant.

Les confitures (ral. 13.F.01 ; cat. 3-3 ; 13rmtf_fr-1): Déterminer le nombre de pairs que l'on peut former à partir de 5 éléments.

Jeu de cubes (ral. 14.II.01 ; cat. 3-3 ; 14rmtii_fr-1): Déterminer tous les nombres compris entre 300 et 1300 que l'n peut former en utilisant les chiffres 0, 1, 2 ou 3 (une fois).

Pile ou face (ral. 14.F.16 ; cat. 7-10 ; 14rmtf_fr-16): Déterminer le nombre de suites binaires de 4 éléments

Ruban adhésif (ral. 15.II.05 ; cat. 3-5 ; 15rmtii_fr-5): Recouvrir un cadre d'un tableau à l'aide de bandes trapézoïdales.

Cercles et nombres (ral. 15.II.17 ; cat. 8-10 ; 15rmtii_fr-17): Dessiner trois cercles en déterminant 6 régions fermées et placer placer dans chacune un des nombres de 1 à 6 de manière à ce que la somme des nombres dans chacun des trois cercles soit la même et la plus grande possible.

Chiffres rouges et chiffres noirs (ral. 15.F.06 ; cat. 4-5 ; 15rmtf_fr-6): Dénombrer les nombres naturels de 1 à 99 : dont les deux chiffres sont "pairs"; dont les deux chiffres sont "impairs"; formés d'un chiffre "pair" suivi d'un chiffre "impair"; formés d'un chiffre "impair" suivi d'un chiffre "pair".

Nombres impairs (ral. 15.F.17 ; cat. 7-10 ; 15rmtf_fr-17): Déterminer le nombre de nombres impairs, supérieurs à 9 500 et inférieurs à 95 000 qu'il est possible de former avec les chiffres 0, 1, 5, 8, 9.

La station d'essence (ral. 16.I.12 ; cat. 6-8 ; 16rmti_fr-12): Utiliser trois des chiffre de 1,257 (un pris en euros) et le chiffre 8 pour constituer un nouveau prix tel la différence multipliée par 40 soient comprise entre 1 et 1,30 (dans un contexte de la recherche du prix de l'essence).

L’interrogation (ral. 16.II.18 ; cat. 8-10 ; 16rmtii_fr-18): Déterminer la distribution des nombres que l'on peut obtenir en additionnant les chiffres de nombres de 1 à 99 ou de 2 à 100.

Les nombres de Bernard (ral. 16.F.07 ; cat. 4-6 ; 16rmtf_fr-7): Déterminer tous les nombres pairs de quatre chiffres dont l’écriture comporte une fois chacun des chiffres 1, 2, 3, 4 et tels que le 1 n’est pas le premier chiffre, le 2 n’est pas le 2e chiffre, le 3 n’est pas le 3e chiffre et le 4 n’est pas le 4e chiffre.

Nombres à trouver (ral. 16.F.09 ; cat. 5-7 ; 16rmtf_fr-9): Trouver les nombres de 4 chiffres dont la somme des chiffres vaut 8 et dont le produit des 4 chiffres est un nombre impair.

Le jeu des cinq dés (ral. 17.I.01 ; cat. 3-3 ; 17rmti_fr-1): Décomposer 17 comme somme de 5 nombres pris parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6 une fois où tous les nombres sont différents et une fois où 3 termes sont les mêmes.

Parties de ping-pong (ral. 17.I.03 ; cat. 3-4 ; 17rmti_fr-3): Dénombrer le nombre de combinaison de 2 objets pris parmi 5 dans un contexte d'un tournoi de ping-pong.

Les flaques (ral. 17.II.03 ; cat. 3-4 ; 17rmtii_fr-3): Trouver les manières d'obtenir 10 en additionnant des multiples de 2 et de 3 à 1 (dans un contexte d'un jeu de type marelle).

Les blasons (I) (ral. 17.F.04 ; cat. 3-4 ; 17rmtf_fr-4): Déterminer le nombre de façons de colorier les parties d'un grand rectangle divisé en quatre petits rectangles à l'aide de trois couleurs de telle manière qu'il ne doit pas avoir plus de deux couleurs pour un même grand rectangle et que les petits rectangles qui ont un côté en commun doivent être de couleurs différentes.

Les blasons (II) (ral. 17.F.08 ; cat. 5-6 ; 17rmtf_fr-8): Déterminer le nombre de façons de colorier les parties d'un grand rectangle divisé en quatre petits rectangles à l'aide de trois couleurs de telle manière que sur chaque grand rectangle figure les 3 couleurs et que les petits rectangles qui ont un côté en commun doivent être de couleurs différentes.

La planète TAEP (ral. 18.I.02 ; cat. 3-4 ; 18rmti_fr-2): Trouver tous les mots de quatre lettres prise parmi TAEP identiques à leur image miroir.

La planète PENTA (ral. 18.I.07 ; cat. 5-6 ; 18rmti_fr-7): Trouver tous les mots de cinq lettres prise parmi PENTA identiques à leur image miroir.

Loterie palindrome (ral. 18.I.09 ; cat. 5-7 ; 18rmti_fr-9): Trouver le nombre de nombres palindromes de 4 chiffres et l'utiliser dans le calcul du bénéfice d'une loterie où tous les billets de 0000 à 9999 ont été vendus à 4 euros et où les gagnants, les possesseurs d'un billet palindrome, gagnent 250 euros.

Visite au zoo (ral. 18.II.05 ; cat. 3-4 ; 18rmtii_fr-5): Déterminer des chemins sur un graphe à 6 sommets dont on donne les sommets de départ et d'arrivée et un sommet intermédiaire, sans passer deux fois par le même sommet.

Le code de l’immeuble (ral. 18.F.01 ; cat. 3-4 ; 18rmtf_fr-1): Décider si avec 6 lettres, il est possible de composer 35 codes différents composés de deux lettres différentes.

Quel beau drapeau (ral. 18.F.05 ; cat. 3-5 ; 18rmtf_fr-5): Décider s'il est possible de recouvrir une figure (donnée) composée de 10 triangles par des figures composées de 3 triangle et de 2 triangle (données) de 7 façon différentes.

Les chocolats de Victor (ral. 19.I.02 ; cat. 3-4 ; 19rmti_fr-2): Trouver le nombre de suites alternant trois types d'éléments l'un à quatre exemplaires, un autre à deux exemplaires et le dernier à un seul exemplaire.

Les tables de multiplication (ral. 19.II.05 ; cat. 3-5 ; 19rmtii_fr-5): Trouver le nombre de produits différents qui s'obtiennent dans les tables de multiplication de 2 à 9.

Le code de Toni (ral. 19.F.19 ; cat. 9-10 ; 19rmtf_fr-19): Trouver un nombre de 3 chiffres différents non nuls tel que si l'on additionne tous les nombres de 2 chiffres que l’on peut former avec les trois chiffres donnés et que l’on multiplie cette somme par 2, on retrouve exactement le nombres.

Pinocchio le fameux menteur (ral. 20.I.12 ; cat. 6-8 ; 20rmti_fr-12): Dans une une suite de cinq transformations à partir de 2 : des additions de 4, des additions de 6 et deux divisions par 2 pour la deuxième et la cinquième ; trouver le nombre des additions de 6, sachant que s’il n’y en avait eu qu’une seule le résultat final aurait été supérieur de 1,5.

Drapeaux multicolores (ral. 22.I.07 ; cat. 5-6 ; 22rmti_fr-7): Trouver les combinaisons de coloriage d’un drapeau de quatre bandes horizontales en trois couleurs, différentes pour des bandes contiguës

Comment s'habiller (ral. 22.II.02 ; cat. 3-4 ; 22rmtii_fr-2): Trouver si le nombre de tenues constituées de trois éléments : un tee-shirt à choisir parmi trois, un pantalon parmi deux et une paire de chaussures à choisir parmi deux est suffisant pour avoir une tenue différente pour chaque jour sur deux semaines.

Les bagues (ral. 23.I.07 ; cat. 4-6 ; 23rmti_fr-7): Dénombrer les dispositions ordonnées (arrangements) de trois objets pris deux à deux et les faire correspondre aux jours de la semaine, dans un contexte de trois bagues de couleurs différentes, une sur chaque main.

Le tournoi de basket (ral. 23.F.05 ; cat. 3-6 ; 23rmtf_fr-5): Calculer le nombre de combinaisons possibles de 5 éléments pris 2 à 2, chaque combinaison étant considérée deux fois.

Nombres à deux ou trois chiffres (ral. 24.I.03 ; cat. 3-4 ; 24rmti_fr-3): Trouver tous les nombres de un, deux ou trois chiffres formés avec un seul des trois chiffres 1, 2, 3, (arrangements sans répétition de 3 objets pris 1 à 1, 2 à 2 ou 3 à 3).

Une coupe de glaces avec des amis (ral. 25.II.01 ; cat. 3-3 ; 25rmtii_fr-1): Déterminer le nombre de combinaisons avec répétition de 2 objets pris 4 par 4 (4 boules de glaces et deux parfums)

Les DVD de Luc (ral. 25.F.08 ; cat. 5-6 ; 25rmtf_fr-8): Trouver le nombre de permutations de cinq objets en deux groupes compacts de deux et de trois objets.

Alice et les maisons du Pays des Merveilles (ral. 25.F.09 ; cat. 5-7 ; 25rmtf_fr-9): Déterminer le nombre de cas possibles lors d’une expérience offrant quatre choix successifs, chacun d’eux offrant trois possibilités (nombre total de cas possibles : 34), puis le nombre de cas testés connaissant le nombre de cas non testés.

Monsieur Charles (ral. 26.I.06 ; cat. 4-5 ; 26rmti_fr-6): Déterminer le nombre de triplets formés avec 3 objets (chacun pouvant être de 4 couleurs différentes), de telle façon que deux objets soient de même couleur et le troisième d'une couleur différente.

La cible (ral. 26.II.02 ; cat. 3-4 ; 26rmtii_fr-2): Trouver les différentes sommes de quatre termes égaux à 50 ou 100

Les cubes de Nicolas (ral. 26.II.10 ; cat. 6-8 ; 26rmtii_fr-10): Déterminer toutes les manières possibles de colorer des cubes avec cinq couleurs différentes, de manière que les faces opposées aient la même couleur et que les faces voisines aient des couleurs différentes.

Nombres et dés (ral. 26.F.11 ; cat. 6-8 ; 26rmtf_fr-11): Écrire 12 chiffres, de 0 à 9, sur les faces de deux dés cubiques de manière qu'en les disposant judicieusement, on puisse présenter la suite des nombres entiers à partir de 10 sans interruption et en obtenir le plus grand nombre possible.

Les desserts de Samia (ral. 27.I.04 ; cat. 3-5 ; 27rmti_fr-4): Trouver tous les desserts différents, composés de 2 boules de glace choisies parmi 4 parfums, et de 1 fruit choisi parmi 2 fruits.

Cinéma en jeu (ral. 27.I.19 ; cat. 9-10 ; 27rmti_fr-19): Déterminer les possibilités que deux événements complémentaires se réalisent : voir apparaître – ou non – une lettre sur un tirage de deux objets parmi huit : 5 nombres et 3 lettres.

Fête foraine (ral. 27.II.02 ; cat. 3-4 ; 27rmtii_fr-2): Trouver tous les arrangements de trois éléments différents dont l’un est répété deux fois

Un peu de foot (ral. 27.F.08 ; cat. 5-7 ; 27rmtf_fr-8): Complétez un tableau en recherchant trois nombres naturels dont la somme est 38 et dont la somme des produits du premier nombre par 3, du second nombre par 1, du troisième par 0 est égale aux nombres attendus (61 et 91). Pour 61, un des trois nombres est donné, dans un contexte de tableau de classement d’un championnat,

Des dés étranges (ral. 27.F.14 ; cat. 8-10 ; 27rmtf_fr-14): Trouver toutes les façons de placer des nombres sur les faces d’un cube de telle sorte que le produit des nombres écrits sur des faces opposées soit toujours égal à 24.

Tous en file (I) (ral. 30.I.05 ; cat. 3-5 ; 30rmti_fr-5): Trouver les différentes permutations de 12 objets (j, j, b, b, b, b, r, r, r, r, r, r) ordonnées, avec conditions imposées sur leur disposition.

Tous en file (II) (ral. 30.I.11 ; cat. 5-7 ; 30rmti_fr-11): Trouver les différentes permutations dans une suite ordonnée de 14 objets de trois couleurs avec des conditions données.

Amis sportifs (ral. 30.I.12 ; cat. 5-7 ; 30rmti_fr-12): Déterminer toutes les possibilités d'obtenir le nombre 55 comme la somme de cinq nombres naturels différents dont le plus petit est 8.

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