LA - Utiliser des mesure de longueurs et aires

Il est évident que les problèmes de cette famille appartiennent aux deux domaines GM Grandeurs et mesures et GP Géométrie plane.

Dans la famille LA Utiliser des mesure de longueurs et aires on trouve les problèmes de géométrie plane qui demandent spécifiquement de déterminer des longueurs ou des aires; par mesurages directs et/ou application de formules, mais aussi par d'autres procédures adaptées à chaque situation: reports, pavages, comparaisons, décompositions et recompositions, etc.

Remarque et suggestion

Problèmes

L'escalier (ral. 03.I.01 ; cat. 3-3 ; 03rmti_fr-1): Compléter des mesures (données en mètres et centimètres) pour obtenir une mesure donnée.

La tache (ral. 03.II.06 ; cat. 3-5 ; 03rmtii_fr-6): Un réseau quadrillé de points blancs (6 x 11) est inséré dans un réseau quadrillé de points noirs (7 x 12). Les deux réseaux sont masqués partiellement par une tache qui ne laisse apparaître que les points du bord. Calculer le nombre de points masqués.

Du rectangle au carré (ral. 05.II.10 ; cat. 5-6 ; 05rmtii_fr-10): Découper un rectangle de 16 x 9 en un minimum de pièces pour reconstituer un carré.

Pavage (ral. 07.F.18 ; cat. 8-8 ; 07rmtf_fr-18): Déterminer les relations entre les côtés d’un triangle rectangle et son aire dans un pavage de 13 triangles égaux, lui-même en forme de triangle semblable, dont les côtés de l’angle droit sont dans le rapport de 2 à 3.

L'héritage (ral. 08.I.16 ; cat. 7-8 ; 08rmti_fr-16): Observer un rectangle découpé en quatre triangles par quatre segments reliant un point à l’intérieur du rectangle à chacun des quatre sommets. Montrer que la superficie totale des deux triangles dont la base est une longueur du rectangle est équivalente à celle des deux autres triangles (dont la base est une largeur du rectangle).

La bannière du château (ral. 10.I.16 ; cat. 8-8 ; 10rmti_fr-16): Calculer le côté d’un carré dans lequel est dessinée une "bande" de 112 m² en forme d’hexagone ayant un axe de symétrie sur une diagonale du carré, et dont les quatre côtés coïncidant avec les côtés du carré (dans les angles) mesurent 4 m.

Le terrain du père François (ral. 11.II.16 ; cat. 7-8 ; 11rmtii_fr-16): Dans un rectangle partagé en trois parties équivalentes par deux segments issus d’un même sommet, déterminer la position de la seconde extrémité de chacun des segments sur chacun des deux côtés opposés.

La boîte (ral. 11.F.09 ; cat. 5-7 ; 11rmtf_fr-9): Rechercher l’aire d’un rectangle de 112 cm de périmètre, composé lui-même de quatre rectangles isométriques, trois disposés côte à côte, le quatrième perpendiculairement aux autres; dans le contexte d'une boîte de quatre compartiments.

Combien de distances ? (ral. 12.II.14 ; cat. 7-8 ; 12rmtii_fr-14): Trouver combien il y a de distances différentes entre deux centres des 25 carreaux d'une grille, quadrillée, de 5 x 5.

RMT 2005 (ral. 13.I.02 ; cat. 3-4 ; 13rmti_fr-2): Comparer l’aire de figures dessinées sur une grille à maille rectangulaire dans lesquelles apparaissent des carrés (demi-rectangles), des triangles rectangles isocèles (demi-carrés) et des trapèzes rectangles ; dans un contexte de lettres à peindre sur un mur.

Les cinq carrés (ral. 14.II.02 ; cat. 3-4 ; 14rmtii_fr-2): Rechercher les dimensions d’un rectangle composé de cinq carrés, dont l’un a 16 cm de côté et deux autres sont isométriques, par une chaîne de déductions se basant sur des partages ou additions de segments.

La table de jardin (ral. 15.I.12 ; cat. 6-7 ; 15rmti_fr-12): Rechercher les dimensions d’un rectangle, composé lui-même de sept rectangles isométriques de 3 m de périmètre, cinq disposés côte à côte, les deux derniers perpendiculairement aux cinq autres, à leurs extrémités.

Panneaux routiers (ral. 15.F.09 ; cat. 5-6 ; 15rmtf_fr-9): Déterminer la distance qui reste à parcourir dans un voyage entre deux villes distantes de 270 km sachant que la distance à une ville intermédiaire se situant à 90 km de la première n'est plus qu'à 25 km.

Pyramides (ral. 17.I.21 ; cat. 10-10 ; 17rmti_fr-21): Compléter le développement d'une pyramide dont la base est un trapèze isocèle (5, 5, 5, 10) et une face est un triangle équilatéral (10, 10, 10) puis déterminer sa hauteur.

Les carrés d'Alex et de François (ral. 17.II.16 ; cat. 7-10 ; 17rmtii_fr-16): Calculer l'aire d'un rectangle formé de cinq carrés (de côtés dans les rapports 1, 1, 2, 3, 5) connaissant son périmètre (130 cm), puis calculer le périmètre d’un rectangle semblable connaissant son aire (1440 cm²).

Le manteau de Martin (ral. 17.F.14 ; cat. 7-10 ; 17rmtf_fr-14): Partager un triangle en trois triangles équivalents par une ligne brisée de deux segments issue d’un sommet du triangle, dont la deuxième extrémité est située sur le côté opposé et la troisième sur un autre côté.

Feuilles mortes (ral. 18.I.05 ; cat. 3-5 ; 18rmti_fr-5): Comparer les aires de deux polygones (de 8 et 12 côtés) dessinés sur un quadrillage, dont les sommets sont sur des intersections du quadrillage et dont les côtés suivent les côtés ou les diagonales des carrés du quadrillage, dans un contexte de feuilles à découper.

Le pré du père François (I) (ral. 18.II.14 ; cat. 7-8 ; 18rmtii_fr-14): Trouver les dimensions d’un rectangle de 42 m2 et de 20 m de périmètre partiel, composé de trois côtés, dans un contexte d’enclos rectangulaire adossé à une ancienne clôture.

Rencontre dans le parc (ral. 19.II.16 ; cat. 8-10 ; 19rmtii_fr-16): Interpréter un schéma et montrer qu’un triangle qui apparaît comme rectangle, l’est vraiment. En tirer le calcul d’un des côtés de l’angle droit connaissant les mesures de l’autre côté de l’angle droit et de l’hypoténuse.

Le rectangle à dessiner (ral. 19.II.19 ; cat. 9-10 ; 19rmtii_fr-19): Vérifier si un rectangle de 12 cm sur 2 cm, puis un rectangle de 13 cm sur 2 cm, peuvent être inscrits dans un carré de 10 cm de côté.

Les bornes de la via Aurelia (ral. 19.F.08 ; cat. 5-6 ; 19rmtf_fr-8): Donner le nombre de bornes hectométriques et le nombres de borne kilométriques présentes sur une distance de 697,330 km.

Partages (ral. 19.F.10 ; cat. 5-7 ; 19rmtf_fr-10): Trouver le nombre de façons de partager un rectangle de 12 cm sur 3 cm en trois rectangles d'aires repsectives 8 cm², 12 cm² et 16 cm² (de côtés entiers).

Le décor (ral. 20.II.04 ; cat. 3-5 ; 20rmtii_fr-4): Comparer les aires d’un polygone dessiné sur une grille quadrillée, partagé par une ligne formée de segments du quadrillage, dont tous les sommets sont sur des intersections du quadrillage

Trois amis et leurs dessins (ral. 20.II.06 ; cat. 4-6 ; 20rmtii_fr-6): Rechercher, comparer des périmètres et aires de 3 figures sur un quadrillage et dessiner une figure d'aire et de périmètre donnés.

Fleur ou fusée ? (ral. 20.II.11 ; cat. 6-8 ; 20rmtii_fr-11): Comparer les aires de deux figures composées de triangles et rectangles, dont tous les sommets sont sur des intersections d’un quadrillage de base.

La boucle (I) (ral. 21.F.01 ; cat. 3-4 ; 21rmtf_fr-1): Trouver le côté d'un carré, puis ceux d'un rectangle de rapport 2/1, dont le périmètre est égal à celui d'un triangle équilatéral de 16 cm de côté.

La boucle (II) (ral. 21.F.08 ; cat. 5-7 ; 21rmtf_fr-8): Trouver les côtés d'un carré et d’un triangle équilatéral de même périmètre sachant que le côté du triangle mesure 4 de plus que celui du carré, puis trouver encore les côtés d'un rectangle de rapport 2/1, dont le périmètre est égal à celui des deux premières figures.

Le coeur de Martine (ral. 22.I.09 ; cat. 5-6 ; 22rmti_fr-9): Comparer les aires internes et externes d’un polygone dessiné sur une grille quadrillée, avec un axe de symétrie et ses sommets sur des intersections du quadrillage

La terrasse de Joseph (ral. 22.I.16 ; cat. 7-10 ; 22rmti_fr-16): Un carré de 10 m de côté est partagé en neuf parties par quatre segments joignant l’un des quatre sommets à l’un des quatre milieux d’un côté opposé. Déterminer l’aire des parties de chaque couleur, après en avoir perçu la forme.

La courroie de Luc (ral. 22.I.18 ; cat. 9-10 ; 22rmti_fr-18): Trouver la longueur du périmètre d’une figure composée de deux arcs de cercles de 3 et 15 cm de rayons et de deux segments tangents aux deux cercles, dans le contexte de deux roues reliées par une courroie de transmission. (On a dessiné sur la figure l’angle de 60 degrés formé par le segment reliant les centres des deux cercles et le rayon du grand cercle menant au point de contact d’un des segments tangents).

La tarte de Mamie Lucie (ral. 22.II.06 ; cat. 4-6 ; 22rmtii_fr-6): Montrer que les deux diagonales d'un rectangle le partagent en quatre parties de même aire (dans un contexte de tarte rectangulaire à partager entre quatre enfants).

Le parquet (ral. 23.I.14 ; cat. 7-10 ; 23rmti_fr-14): Calculer le prix de l’ensemble des lames d’un parquet rectangulaire fait de lames rectangulaires toutes identiques. La disposition des lames est donnée par un dessin, on connait le périmètre du parquet et le prix des lames au mètre carré.

Périmètre et aire (ral. 24.I.18 ; cat. 9-10 ; 24rmti_fr-18): Découvrir les rectangles dont les mesures du périmètre en cm et les mesures de l’aire en cm², sont égales

Carrelages en or (ral. 24.II.19 ; cat. 10-10 ; 24rmtii_fr-19): Dans un carré partagé en quatre parties (un carré, un rectangle, un triangle, un trapèze disposés selon une figure donnée) déterminer la mesure du côté du petit carré de manière à ce que la somme de l’aire de ce petit carré et de celle du triangle soit minimale.

Les allumettes (ral. 24.F.08 ; cat. 5-6 ; 24rmtf_fr-8): Déterminer les périmètres de trois polygones inscrits dans un carré et dont les côtés sont parallèles aux côtés des carrés, selon une unité de mesure (une allumette) et sachant que le périmètre du carré est 16 (allumettes)

Fils tendus (ral. 24.F.23 ; cat. 5-5 ; 24rmtf_fr-23): Dessiner les carrés et les rectangles dont les sommets sont situés sur l’un des nœuds de chacun des quatre côtés d’une grille quadrillée 5 × 5 (à l’exception des nœuds des quatre sommets de la grille).

Le puzzle (ral. 24.F.24 ; cat. 5-5 ; 24rmtf_fr-24): Vérifier si des polygones (six) dessinés sur un quadrillage peuvent être recouverts par les huit pièces triangulaires d’un puzzle (4 demi-carrés du quadrillage, 2 triangles rectangles isocèles composés chacun de 2 demi-carrés, 2 demi rectangles 1 × 2), présenté par deux exemples : en forme de rectangle 1 × 6 puis en forme d’un hexagone (non régulier)

Le minigolf (ral. 25.I.08 ; cat. 5-6 ; 25rmti_fr-8): Trouver la longueur, exprimée en mètres, d’un parcours représenté sur un quadrillage à maille carrée, constitué de 9 segments, connaissant la longueur réelle entre deux points du parcours.

Les deux rectangles (ral. 25.I.13 ; cat. 7-8 ; 25rmti_fr-13): Comparer l’aire de deux rectangles construits sur un même parallélogramme (le premier sur une paire de côtés parallèles, le second sur l’autre paire de côtés parallèles).

Le dallage de Fabio (ral. 25.I.17 ; cat. 8-10 ; 25rmti_fr-17): Calculer le prix de l’ensemble des dalles identiques d’un pavage rectangulaire de 15 m de périmètre dont la disposition est donnée par un dessin, et le prix au mètre carré est connu.

Le plateau triangulaire (ral. 25.II.14 ; cat. 7-10 ; 25rmtii_fr-14): Calculer l’aire de trois hexagones réguliers isométriques construits sur trois côtés d’un hexagone régulier dont l’aire est 4158 cm², les quatre hexagones étant inscrits dans un triangle équilatéral.

Des racines carrées (ral. 26.II.17 ; cat. 9-10 ; 26rmtii_fr-17): Dessiner un triangle dont les sommets sont placés sur des sommets des carrés d'un quadrillage 1cm x 1cm et dont les côtés mesurent 41 cm, 45 cm et 68 cm.

Ballon (ral. 26.F.17 ; cat. 9-10 ; 26rmtf_fr-17): Modéliser une situation d’application du théorème de Pythagore où deux côtés du triangle sont donnés.

Des triangles sur une planche à clous (ral. 27.I.18 ; cat. 8-10 ; 27rmti_fr-18): Un triangle est déterminé par trois sommets se situant sur les intersections d’un réseau de points à maille carrée (planche à clous), aucun de ses côtés n’est situé sur une ligne du réseau. Trouver tous les autres triangles de même aire dont deux sommets donnés sont inchangés et le troisième sommet est un autre point du réseau.

Trois photos sur une page (ral. 27.II.04 ; cat. 3-5 ; 27rmtii_fr-4): Déterminer le périmètre d’un assemblage rectangulaire composé d’un grand carré de 48 cm de périmètre et de deux petits carrés égaux.

Les cinq rectangles (I) (ral. 27.II.10 ; cat. 6-7 ; 27rmtii_fr-10): Former des rectangles composés chacun de quatre rectangles de périmètres 10, 14, 20 et 24 cm, et déterminer leurs périmètres.

Les cinq rectangles (II) (ral. 27.II.17 ; cat. 8-10 ; 27rmtii_fr-17): Former des rectangles composés chacun de quatre rectangles de périmètres 10, 14, 20 et 24 cm, et déterminer leur périmètre et trouver lequel de ces rectangles a une aire maximale.

Une mosaïque du Maroc (ral. 27.II.18 ; cat. 8-10 ; 27rmtii_fr-18): Calculer le rapport des aires de deux types de figures d’une mosaïque, par décompositions en demi-carrés triangulaires et rectangles dont un côté est celui d’un carré et l’autre celui de sa diagonale.

Pendentifs en or (ral. 27.F.10 ; cat. 5-7 ; 27rmtf_fr-10): Comparer l'aire de trois figures non polygonales et concaves obtenues en ajoutant et en supprimant des demi-disques de rectangles

Assemblages de triangles (I) (ral. 28.I.07 ; cat. 5-6 ; 28rmti_fr-7): Rechercher, parmi les polygones obtenus en assemblant par des côtés de même longueur quatre triangles rectangles égaux (dont les côtés mesurent 3 ; 4 et 5 cm), l’un de ceux dont le périmètre est maximal.

Assemblages de triangles (II) (ral. 28.I.13 ; cat. 7-8 ; 28rmti_fr-13): Rechercher, parmi les polygones obtenus en assemblant par des côtés de même longueur six triangles rectangles égaux (dont les côtés mesurent 3 ; 4 et 5 cm), l’un de ceux dont le périmètre est maximal.

L’enclos des animaux (ral. 28.I.15 ; cat. 8-10 ; 28rmti_fr-15): Trouver l’aire d’une figure agrandie à partir des dimensions indiquées sur la figure d’origine, le rapport d’agrandissement étant déterminé à partir de la donnée d’une des dimensions de l’agrandissement.

Rectangles de papier quadrillé (I) (ral. 29.I.04 ; cat. 3-4 ; 29rmti_fr-4): Comparer les aires de deux rectangles de papier quadrillé, déformés et présentés par deux photos, dont l’un est constitué de carreaux entiers et l’autre a deux côtés opposés formée de carrés non entiers.

Les deux papillons (ral. 29.I.06 ; cat. 4-6 ; 29rmti_fr-6): Comparer l'aire d'un triangle rectangle, qui est la moitié d'un rectangle quadrillé (9 × 6), avec celle de deux autres triangles rectangles à joindre et qui permettent de reconstruire l'autre moitié du rectangle.

Rectangles de papier quadrillé (II) (ral. 29.I.08 ; cat. 5-6 ; 29rmti_fr-8): Comparer les aires de deux rectangles de papier quadrillé, déformés et présentés par deux photos, dont l’un est constitué de carreaux entiers et l’autre a deux côtés adjacents formés de carrés non entiers.

Les sept polygones (ral. 29.I.13 ; cat. 7-8 ; 29rmti_fr-13): Comparer les aires de 7 figures dessinées sur un quadrillage; 2 triangles, 4 quadrilatères et un polygone à 5 côtés, dont tous les sommets sont sur des nœuds du quadrillage.

Les plates bandes de l'école (ral. 29.II.02 ; cat. 3-4 ; 29rmtii_fr-2): Comparer les périmètres de quatre polygones de même aire, dessinés sur une grille, dont les côtés suivent les lignes du quadrillage ou sont des diagonales de ses carrés.

Le tangram du menuisier (I) (ral. 29.II.10 ; cat. 6-7 ; 29rmtii_fr-10): À partir de la photo d’un Tangram et de ses sept pièces, trouver la mesure du côté du Tangram connaissant la mesure du côté de la petite pièce carrée ($6$ cm).

Le puzzle (I) (ral. 29.F.14 ; cat. 7-8 ; 29rmtf_fr-14): Étant donné un rectangle dont les dimensions sont connues, divisé en quatre rectangles semblables et égaux deux à deux, dessiner un autre rectangle avec des dimensions différentes de celui qui est donné, mais formé par les quatre mêmes triangles et déterminer la valeur de son périmètre.

Le puzzle (II) (ral. 29.F.21 ; cat. 9-10 ; 29rmtf_fr-21): Construire deux rectangles différents en utilisant pour chacun quatre triangles rectangles semblables, égaux deux à deux, le grand côté de l’angle droit du petit triangle étant égal au petit côté de l’angle droit du grand triangle, et calculer leurs périmètres connaissant les mesures des hypoténuses.

Du simple au double (ral. 30.I.17 ; cat. 8-10 ; 30rmti_fr-17): Parmi plusieurs propositions de modifier les dimensions d’un rectangle pour obtenir un rectangle d’aire double, juger celles qui sont correctes / ou incorrectes, en donner les raisons et, pour les incorrectes, trouver le rapport entre les aires.

Le partage du rectangle (ral. 30.I.18 ; cat. 8-10 ; 30rmti_fr-18): Un rectangle de 5 m sur 3 m est partagé en quatre triangles équivalents par trois segments issus d’un de ses sommets, on demande de trouver le plus long périmètre de ces triangles et de le calculer.

Le chat sur le toit (ral. 30.I.19 ; cat. 8-10 ; 30rmti_fr-19): Déterminer la mesure de l’hypoténuse d’un triangle rectangle, en connaissant un côté du triangle et les côtés d’un rectangle. Utiliser la proportionnalité dans deux triangles semblables.

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