RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

Remarque et suggestion

Problèmes

Du rectangle au carré (ral. 05.II.10 ; cat. 5-6 ; 05rmtii_fr-10): Découper un rectangle de 16 x 9 en un minimum de pièces pour reconstituer un carré.

Réseau triangulaire (ral. 05.F.09 ; cat. 4-6 ; 05rmtf_fr-9): Trouver le maximum et le minimum de triangles que peut contenir un polygone de périmètre 24 cm dessiné sur un réseau triangulés par des triangles de 1 cm de côté.

L'enclos de la chèvre (ral. 06.F.09 ; cat. 5-8 ; 06rmtf_fr-9): Construire le plus grand enclos possible, de forme rectangulaire, en utilisant six barrières de longueurs 3 m, 5 m, 6 m, 6 m, 7 m et 8 m.

L'enclos de la chèvre (ral. 07.I.16 ; cat. 6-8 ; 07rmti_fr-16): Construire le plus grand enclos possible, de forme rectangulaire, en utilisant six barrières de longueurs 4 m, 5 m, 6 m, 7 m, 8 m et 9m.

Monsieur triangle (ral. 09.II.06 ; cat. 4-5 ; 09rmtii_fr-6): Dénombrer le nombre de dalles triangulaires pavant une cour en forme de losange. Une situation de dimension inférieure est donnée en illustration.

Salle de bal (ral. 09.F.15 ; cat. 7-8 ; 09rmtf_fr-15): Déterminer les dimensions d'un carré pouvant être recouvert par plus de 3000 petits carreaux (20 x 20 cm), par moins de moyens carreaux (25 x 25 cm) et plus de 2000 grands carreaux (30 x 30 cm).

Carrelage (ral. 10.I.13 ; cat. 6-8 ; 10rmti_fr-13): Décider si l'on peut recouvrir un rectangle de 120 x 225 cm de côtés par 480 carrés identiques et déterminer le cas échéant la mesure du côté du carré.

La bannière du château (ral. 10.I.16 ; cat. 8-8 ; 10rmti_fr-16): Calculer le côté d’un carré dans lequel est dessinée une "bande" de 112 m² en forme d’hexagone ayant un axe de symétrie sur une diagonale du carré, et dont les quatre côtés coïncidant avec les côtés du carré (dans les angles) mesurent 4 m.

Les rubans transparents (ral. 10.II.14 ; cat. 7-8 ; 10rmtii_fr-14): Déterminer un côté d'un parallélogramme connaissant les deux hauteurs et l'autre côté.

Le couvre-lit de Grand-Mère (ral. 11.II.03 ; cat. 3-4 ; 11rmtii_fr-3): Déterminer le nombre de carrés rouges juxtaposés contenus à l'intérieur d'un rectangle dont le pourtour est formé de carrés bleus : 22 dans la longueur et 15 dans la largeur.

La boîte (ral. 11.F.09 ; cat. 5-7 ; 11rmtf_fr-9): Rechercher l’aire d’un rectangle de 112 cm de périmètre, composé lui-même de quatre rectangles isométriques, trois disposés côte à côte, le quatrième perpendiculairement aux autres; dans le contexte d'une boîte de quatre compartiments.

Le restaurant chinois (ral. 12.I.16 ; cat. 8-8 ; 12rmti_fr-16): Déterminer l'aire d'une figure délimitée par des arcs de cercle (serpent) inscrite sur un quadrillage.

Combien de distances ? (ral. 12.II.14 ; cat. 7-8 ; 12rmtii_fr-14): Trouver combien il y a de distances différentes entre deux centres des 25 carreaux d'une grille, quadrillée, de 5 x 5.

Les deux rectangles (ral. 13.F.06 ; cat. 4-6 ; 13rmtf_fr-6): Juxtaposer deux rectangles quadrillés (dimensions 3 x 5 et 5 x 8) en respectant l'alignement des quadrillages de telle manière à ce que le périmètre de la figure obtenue soit maximum.

Quadritriangles (ral. 13.F.11 ; cat. 6-9 ; 13rmtf_fr-11): Déterminer parmi toutes les figures constituées de quatre triangles rectangles égaux, de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm, disposés de manière à ce que chaque triangle ait au moins un côté commun avec un autre, celles dont le périmètre est minimum.

Logos (ral. 13.F.17 ; cat. 8-9 ; 13rmtf_fr-17): Déterminer le poids de 40 feuilles de grand format, connaissant le poids de 100 feuilles de petit format (rapport de la dimension linéaire des feuilles 60/24).

Les manies des grands champions (ral. 14.I.15 ; cat. 8-10 ; 14rmti_fr-15): Découper un rectangle de 600 x 500 évidé en son centre d'un rectangle de 300 x 200 en 6 parties de même forme et de mêmes dimensions ayant chacune un côté au centre.

Les cinq carrés (ral. 14.II.02 ; cat. 3-4 ; 14rmtii_fr-2): Rechercher les dimensions d’un rectangle composé de cinq carrés, dont l’un a 16 cm de côté et deux autres sont isométriques, par une chaîne de déductions se basant sur des partages ou additions de segments.

Puzzle (I) (ral. 14.II.11 ; cat. 6-8 ; 14rmtii_fr-11): Un carré de 16 cm de côté est décomposé en trois pièces : deux triangles rectangle (16 ; 12 ; 20) et (12,8 ; 9,6 ; 16) et un quadrilatère dont deux côtés sont connus (16 ; 4). Dessiner tous les polygones convexes qu’on peut former avec ces trois pièces et calculer leur périmètre.

Puzzle (II) (ral. 14.II.18 ; cat. 9-10 ; 14rmtii_fr-18): Un carré de 10 cm de côté est composé de trois pièces : deux triangles rectangle (côtés de l'angle droit de longueurs 10 et 5 pour l'un et hypoténuse de 10 cm pour l'autre) et et un quadrilatère dont un côté est connu (59). Dessiner tous les polygones convexes qu’on peut former avec ces trois pièces et calculer leur périmètre.

D'un enclos à l’autre (ral. 14.F.14 ; cat. 7-10 ; 14rmtf_fr-14): Calculer les dimensions a x b (a et b entiers) d'un rectangle de 60 m de périmètre sachant qu'un rectangle de périmètre 66 m et de dimension (a+6) x (b-3) a une aire supérieure de 90 m².

Le carré de Thomas (ral. 15.I.08 ; cat. 5-6 ; 15rmti_fr-8): Assembler, si c'est possible, des carrés pris parmi 3 carrés de 1 cm de côté, 5 carrés de 2 cm de côté, 5 carrés de 3 cm de côté, 1 carré de 4 cm de côté, 1 carré de 5 cm de côté pour constituer un carré de 10 cm de côté.

La table de jardin (ral. 15.I.12 ; cat. 6-7 ; 15rmti_fr-12): Rechercher les dimensions d’un rectangle, composé lui-même de sept rectangles isométriques de 3 m de périmètre, cinq disposés côte à côte, les deux derniers perpendiculairement aux cinq autres, à leurs extrémités.

Le champ agrandi (ral. 15.II.11 ; cat. 5-7 ; 15rmtii_fr-11): Déterminer la longueur du côté d'un carré tel que la superficie augmente de 41 lorsque le côté est allongé d'une unité.

La boucle (ral. 15.F.07 ; cat. 4-5 ; 15rmtf_fr-7): Construire, sur un quadrillage, un rectangle de même périmètre (22 unités) qu'un rectangle donné et dont l'aire est maximale.

RMT 2007 (ral. 15.F.18 ; cat. 8-10 ; 15rmtf_fr-18): Déterminer le nombre de pots de peinture nécessaires pour recouvrir une figure homothétique, dans un rapport 7 à 5, à une figure plus petite qui nécessite 16 pots de peinture.

Le parquet décoré (ral. 16.II.08 ; cat. 5-6 ; 16rmtii_fr-8): Déterminer le nombre de carreaux 20x20 nécessaires pour recouvrir les trois parties d'un rectangle 360x480. La première partie est formée de 3 rangs de carreaux. La deuxième partie est constituée d’un seul rang de carreaux. La troisième partie est le rectangle restant.

Les carrés d'Alex et de François (ral. 17.II.16 ; cat. 7-10 ; 17rmtii_fr-16): Calculer l'aire d'un rectangle formé de cinq carrés (de côtés dans les rapports 1, 1, 2, 3, 5) connaissant son périmètre (130 cm), puis calculer le périmètre d’un rectangle semblable connaissant son aire (1440 cm²).

Feuilles de format A (ral. 17.II.22 ; cat. 9-10 ; 17rmtii_fr-22): Déterminer le rapport entre longueur et largeur pour une feuille de type A et donner les dimensions au millimètre près d’une feuille A4.

Une belle banderole (ral. 18.F.14 ; cat. 7-10 ; 18rmtf_fr-14): Comparer l'aire de 4 triangles recouvrant un rectangle.

Les terrains de jeu (ral. 19.II.04 ; cat. 3-4 ; 19rmtii_fr-4): Calculer le périmètre d'un rectangle formé de la juxtaposition d'un carré et d'un rectangle dont on connaît le périmètre de chacun d'eux.

Le carré de Joseph (ral. 19.F.16 ; cat. 7-10 ; 19rmtf_fr-16): Déterminer l'aire des 9 parties d'un carré de 20 cm de côté découpé par quatre droites, parallèles deux à deux, chacune partant d'un sommet pour aboutir au quart d'un côté à partir du sommet opposé.

La spirale (ral. 19.F.17 ; cat. 8-10 ; 19rmtf_fr-17): Déterminer la longueur d'une spirale constituée de quarts de cercles, chacun inscrit dans un carré, l'ensemble formant rectangle de périmètre 136 cm.

Carrés et disques (ral. 19.F.20 ; cat. 10-10 ; 19rmtf_fr-20): On inscrit un carré de 1 cm de côté dans un disque, lui-même inscrit dans un carré, etc. Trouver le nombre de carrés à construire pour que l'aire du dernier arrive à dépasser 1 ha.

Partage d’un carré (ral. 20.I.19 ; cat. 9-10 ; 20rmti_fr-19): Un carré et divisé en quatre parties par trois segments de longueur 10 : deux triangles isocèles isométriques et deux triangles rectangles, moitié d’un des triangles isocèles. Calculer l’aire de chacun de ces triangles.

Carrelage géométrique (ral. 20.II.17 ; cat. 9-10 ; 20rmtii_fr-17): Un carré est formé de deux familles de 4 triangles et d'un carré central dont la longueur du côté vaut 20cm. 4 triangles équilatéraux sont accolés au carré central et 3 triangles isocèles forment bordurent. Trouver l'aire formée par chacune des familles de triangle.

Carrés superposés (ral. 20.F.15 ; cat. 8-10 ; 20rmtf_fr-15): A partir de la suite des racines carrées des nombres naturels, établir la suite des écarts [√n - √(n-1)]/2 puis déterminer le 5e terme de la suite et trouver le rang du premier terme inférieur à 0,05; dans un contexte de carrés superposés.

Le tapis de Mme Doudouche (ral. 22.F.04 ; cat. 3-5 ; 22rmtf_fr-4): Un rectangle donné étant entouré d’une double bande de petits carrés, trouver combien de petits carrés composent la double bande qui entoure un rectangle de même longueur que le premier et de largeur double.

La décoration de Charles (ral. 23.I.09 ; cat. 5-7 ; 23rmti_fr-9): Déterminer l’aire de la partie grise d’un dessin d’une frise sur papier quadrillé, à partir d’une partie du dessin et de la donnée de l’aire totale de la partie blanche.

Le parquet (ral. 23.I.14 ; cat. 7-10 ; 23rmti_fr-14): Calculer le prix de l’ensemble des lames d’un parquet rectangulaire fait de lames rectangulaires toutes identiques. La disposition des lames est donnée par un dessin, on connait le périmètre du parquet et le prix des lames au mètre carré.

A la plage (ral. 23.I.17 ; cat. 9-10 ; 23rmti_fr-17): Calculer le rapport entre les volumes de deux pyramides semblables à base carrée, sachant que le côté de la base de la grande pyramide mesure 24 cm et que la base de la petite est un carré aux côtés parallèles à ceux de la base de la grande pyramide et inscrit dans un troisième carré dont les sommets sont les milieux des côtés du grand carré.(Un schéma de la position de trois carrés inscrits est donné.)

Spirale de carrés (I) (ral. 23.II.11 ; cat. 6-8 ; 23rmtii_fr-11): Calculer l’aire d’une figure composée de 8 carrés se chevauchant partiellement, disposés en spirale, l’un des côtés de chacun d’eux coïncidant avec la diagonale du précédent (les 6 premiers carrés sont dessinés ; le côté du 1er carré mesure 1 cm).

La piscine de Thomas (ral. 23.II.16 ; cat. 8-10 ; 23rmtii_fr-16): Calculer la distance d entre deux carrés concentriques dont le périmètre de l’un vaut 3,60 m de plus que celui de l’autre et trouver les longueurs possibles du périmètre du petit carré comprises entre des limites données: 25d et 30d.

Triangles de mêmes aires (ral. 23.II.17 ; cat. 9-10 ; 23rmtii_fr-17): Déterminer le nombre de triangles que l’on peut construire, connaissant la longueur de deux des côtés et leur aire. Déterminer la longueur du troisième côté.

Spirale de carrés (II) (ral. 23.II.18 ; cat. 9-10 ; 23rmtii_fr-18): Calculer la surface occupée par une suite de 20 carrés, le premier ayant 1 cm de côté, partiellement superposés, disposés en « spirale » avec un sommet commun et le côté de chacun coïncidant avec la diagonale du précédent (les six premiers carrés sont dessinés).

Les cercles (ral. 23.II.19 ; cat. 10-10 ; 23rmtii_fr-19): Calculer le rayon d’un cercle tangent à trois autres cercles dans la configuration donnée.

Jardin carré (ral. 24.I.16 ; cat. 7-10 ; 24rmti_fr-16): Trouver les couples de nombres naturels dont la différence entre leurs carrés est 75, dans un contexte de terrains carrés.

Etranges triangles (ral. 24.F.16 ; cat. 7-10 ; 24rmtf_fr-16): Déterminer les longueurs possibles, exprimées en nombres entiers, des côtés de triangles dont sont donnés le périmètre et la différence de longueur entre les des deux côtés les plus longs.

Décoration de la station de métro (ral. 25.I.12 ; cat. 6-8 ; 25rmti_fr-12): Calculer le prix des carreaux d’une frise, constituée d’un motif répété périodiquement, en forme de « M » contenu dans un carré de 9 × 9 carreaux, de deux couleurs, connaissant le prix des carreaux de chaque couleur.

Le dallage de Fabio (ral. 25.I.17 ; cat. 8-10 ; 25rmti_fr-17): Calculer le prix de l’ensemble des dalles identiques d’un pavage rectangulaire de 15 m de périmètre dont la disposition est donnée par un dessin, et le prix au mètre carré est connu.

Une étrange figure (ral. 25.I.20 ; cat. 9-10 ; 25rmti_fr-20): Comparer les aires d’un segment circulaire et d’une partie d’un secteur de disque déterminés par une droite passant par l’extrémité et le milieu d’un demi-cercle et par le diamètre du demi-cercle.

La frise d’Annie (ral. 25.II.07 ; cat. 4-6 ; 25rmtii_fr-7): Déterminer l'aire de la partie grise d'une frise coloriée en noir et gris, dont le début est dessiné sur du papier quadrillé, en connaissant l'aire totale de la partie noire de la frise entière.

Le grand Pi (ral. 25.F.18 ; cat. 9-10 ; 25rmtf_fr-18): Évaluer l’aire d’une figure dont le contour comprend des arcs de cercle dont on donne une représentation à l’échelle sur un quadrillage

Voiles triangulaires (ral. 26.I.17 ; cat. 9-10 ; 26rmti_fr-17): Etant donné un triangle dont deux côtés mesurent 2 m et 4 m (avec l’angle compris entre les deux côtés de 100 degrés), dessiner un triangle différent, de même aire avec deux côtés de 2 m et 4 m, et justifier qu’il est unique.

Trois photos sur une page (ral. 27.II.04 ; cat. 3-5 ; 27rmtii_fr-4): Déterminer le périmètre d’un assemblage rectangulaire composé d’un grand carré de 48 cm de périmètre et de deux petits carrés égaux.

Les cinq rectangles (I) (ral. 27.II.10 ; cat. 6-7 ; 27rmtii_fr-10): Former des rectangles composés chacun de quatre rectangles de périmètres 10, 14, 20 et 24 cm, et déterminer leurs périmètres.

La piscine (ral. 27.II.13 ; cat. 7-10 ; 27rmtii_fr-13): Déterminer les dimensions d’un rectangle connaissant son aire, le nombre et les dimensions des dalles carrées nécessaires pour paver son pourtour extérieur.

Les cinq rectangles (II) (ral. 27.II.17 ; cat. 8-10 ; 27rmtii_fr-17): Former des rectangles composés chacun de quatre rectangles de périmètres 10, 14, 20 et 24 cm, et déterminer leur périmètre et trouver lequel de ces rectangles a une aire maximale.

Assemblages de triangles (I) (ral. 28.I.07 ; cat. 5-6 ; 28rmti_fr-7): Rechercher, parmi les polygones obtenus en assemblant par des côtés de même longueur quatre triangles rectangles égaux (dont les côtés mesurent 3 ; 4 et 5 cm), l’un de ceux dont le périmètre est maximal.

Assemblages de triangles (II) (ral. 28.I.13 ; cat. 7-8 ; 28rmti_fr-13): Rechercher, parmi les polygones obtenus en assemblant par des côtés de même longueur six triangles rectangles égaux (dont les côtés mesurent 3 ; 4 et 5 cm), l’un de ceux dont le périmètre est maximal.

Du simple au double (ral. 30.I.17 ; cat. 8-10 ; 30rmti_fr-17): Parmi plusieurs propositions de modifier les dimensions d’un rectangle pour obtenir un rectangle d’aire double, juger celles qui sont correctes / ou incorrectes, en donner les raisons et, pour les incorrectes, trouver le rapport entre les aires.

Le partage du rectangle (ral. 30.I.18 ; cat. 8-10 ; 30rmti_fr-18): Un rectangle de 5 m sur 3 m est partagé en quatre triangles équivalents par trois segments issus d’un de ses sommets, on demande de trouver le plus long périmètre de ces triangles et de le calculer.

Le chat sur le toit (ral. 30.I.19 ; cat. 8-10 ; 30rmti_fr-19): Déterminer la mesure de l’hypoténuse d’un triangle rectangle, en connaissant un côté du triangle et les côtés d’un rectangle. Utiliser la proportionnalité dans deux triangles semblables.

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