LA - Utilizzare misure di lunghezze e aree

E’ evidente che i problemi di questa famiglia appartengano ai due ambiti GM Grandezze e misure e GP Geometria piana.

Nella famiglia LA Utilizzare misure di lunghezze e aree troviamo i problemi di geometria piana che richiedono specificamente di determinare lunghezze e aree per misurazione diretta e/o con applicazione di formule, ma anche con altre procedure adattate a ciascuna situazione: riporti, pavimentazioni, confronti, scomposizioni e ricomposizioni, ecc.

Remarque et suggestion

Problemi

La macchia (ral. 03.II.06 ; cat. 3-5 ; 03rmtii_it-6): Un reticolo a maglie quadrate di punti bianchi (6 x 11) è inserito in un reticolo a maglie quadrate di punti neri (7 x 12). I due reticoli sono parzialmente nascosti da una macchia che ne lascia vedere solo i punti sul bordo. Calcolare il numero di punti nascosti.

Dal rettangolo al quadrato (ral. 05.II.10 ; cat. 5-6 ; 05rmtii_it-10): Scomporre un rettangolo di 16x9 in un numero minimo di pezzi tali da ricomporre un quadrato

Pavimentazione (I) (ral. 07.F.18 ; cat. 8-8 ; 07rmtf_it-18): Determinare le relazioni tra i lati di un triangolo rettangolo e la sua area in una pavimentazione (a forma di triangolo rettangolo) formata da 13 triangoli uguali e simili al triangolo della pavimentazione, nel quale il rapporto fra i suoi cateti è di 2 a 3.

l'eredità (ral. 08.I.16 ; cat. 7-8 ; 08rmti_it-16): Osservare un rettangolo suddiviso in quattro triangoli da quattro segmenti che collegano un punto in comune all’interno del rettangolo a ciascuno dei quattro vertici. “Dimostrare” che la superficie totale dei due triangoli, la cui base è una lunghezza del rettangolo, è equivalente a quella totale degli altri due triangoli (aventi per base una dimensione del rettangolo).

La bandiera del Castello (ral. 10.I.16 ; cat. 8-8 ; 10rmti_it-16): Calcolare la misura del lato di un quadrato. Nel quadrato è disegnata una striscia di 112 m² a forma esagonale. L’esagono ha un asse di simmetria su una diagonale del quadrato e i lati che formano gli angoli del quadrato, misurano 4 m.

Il terreno di Francesco (ral. 11.II.16 ; cat. 7-8 ; 11rmtii_it-16): Un rettangolo è suddiviso in tre parti equivalenti da due segmenti uscenti dallo stesso vertice; determinare la posizione della seconda estremità di ciascuno dei segmenti su ciascuno dei due lati opposti.

La scatola (ral. 11.F.09 ; cat. 5-7 ; 11rmtf_it-9): Ricercare l’area d’un rettangolo (il cui perimetro è112 cm) formato da quattro rettangoli isometrici, tre disposti affiancati, il quarto perpendicolarmente agli altri; nel contesto di una scatola a quattro scomparti.

A quale distanza ? (ral. 12.II.14 ; cat. 7-8 ; 12rmtii_it-14): Trovare quante distanze differenti ci possano essere tra due centri dei 25 quadrati di una griglia quadrata, di 5 x 5.

RMT 2005 (ral. 13.I.02 ; cat. 3-4 ; 13rmti_it-2): Confrontare l’area di figure, disegnate su una griglia rettangolare, nelle quali appaiono dei quadrati (mezzi-rettangoli), triangoli rettangoli isoceli(mezzi-quadrati) e trapezi rettangoli ; in un contesto di lettere e cifre da dipingere su un muro.

I cinque quadrati (ral. 14.II.02 ; cat. 3-4 ; 14rmtii_it-2): Individuare le dimensioni d’un rettangolo composto da cinque quadrati, dei quali uno ha 16 cm di lato e altri due sono isometrici, attraverso una catena di deduzioni basata su divisioni o addizioni di segmenti.

Il tavolo da giardino (ral. 15.I.12 ; cat. 6-7 ; 15rmti_it-12): Trovare le dimensioni di un rettangolo costituito da sette rettangoli congruenti, cinque disposti uno vicino all'altro e gli altri due disposti perpendicolarmente agli altri alle loro estremità. Contesto piano del tavolo.

Cartelli stradali (ral. 15.F.09 ; cat. 5-6 ; 15rmtf_it-9): Déterminer la distance qui reste à parcourir dans un voyage entre deux villes distantes de 270 km sachant que la distance à une ville intermédiaire se situant à 90 km de la première n'est plus qu'à 25 km.

Piramidi (ral. 17.I.21 ; cat. 10-10 ; 17rmti_it-21): Completare lo sviluppo di una piramide che ha per base un trapezio isoscele (5 – 5 – 5 – 10) e per una delle facce un triangolo equilatero (10 – 10 – 10) e determinare la sua altezza.

I quadrati di Alex e Francesco (ral. 17.II.16 ; cat. 7-10 ; 17rmtii_it-16): Calcolare l'area di un rettangolo formato da cinque quadrati, (di lati 1, 1, 2, 3, 5) di cui si conosce il suo perimetro (130 cm) e calcolare poi il perimetro di un rettangolo simile di cui si conosce l’area (1440 cm²)

Il mantello di Martino (ral. 17.F.14 ; cat. 7-10 ; 17rmtf_it-14): Suddividere un triangolo in tre triangoli equivalenti mediante una linea spezzata che nasce da un vertice, incontra il lato opposto e poi un altro lato.

Cadono le foglie (ral. 18.I.05 ; cat. 3-5 ; 18rmti_it-5): Confrontare le aree di due poligoni (di 8 e 12 lati) disegnati su una quadrettatura, con i cui vertici posti su intersezioni della quadrettatura stessa e i lati che si trovano sui lati o sulle diagonali dei quadretti della quadrettatura, in un contesto di foglie da ritagliare.

Il prato di zio Francesco (I) (ral. 18.II.14 ; cat. 7-8 ; 18rmtii_it-14): Trovare le dimensioni di un rettangolo di 42 m2 e di 20 m di perimetro parziale, composto da tre lati, che nel contesto é un recinto circondato da una rete.

Incontro nel parco (ral. 19.II.16 ; cat. 8-10 ; 19rmtii_it-16): Interpretare un disegno e riconoscere che si tratta di un triangolo rettangolo. Calcolare la misura di un cateto conoscendo le misure dell'ipotenusa e dell'altro cateto.

Il rettangolo da disegnare (ral. 19.II.19 ; cat. 9-10 ; 19rmtii_it-19): Verificare se un rettangolo con i lati di 12 cm e 2 cm, ed un altro con i lati di 13 cm e 2 cm, possono essere inscritti in un quadrato con il lato di 10 cm.

Le pietre miliari della via Aurelia (ral. 19.F.08 ; cat. 5-6 ; 19rmtf_it-8): Individuare il numero di pietre miliari ettometriche e il numero di quelle chilometriche presenti su una distanza di 697,330 Km.

Ritagli (ral. 19.F.10 ; cat. 5-7 ; 19rmtf_it-10): Trovare il numero dei modi in cui sia possibile scomporre un rettangolo con i lati di 12 cm e 3 cm, in tre rettangoli di area 8 cm², 12 cm² et 16 cm² tutti con i lati che hanno come misura un numero intero.

Scenario (ral. 20.II.04 ; cat. 3-5 ; 20rmtii_it-4): Confrontare le aree delle due parti di un poligono disegnato su una griglia a maglie quadrate e diviso da una linea spezzata che segue i lati dei quadrati della griglia.

Tre amici e i loro disegni (ral. 20.II.06 ; cat. 4-6 ; 20rmtii_it-6): Cercare e confrontare perimetri e aree di tre poligoni disegnati su una griglia a maglie quadrate. Disegnare, sulla medesima griglia, un poligono di perimetro e area dati.

Fiore o razzo (ral. 20.II.11 ; cat. 6-8 ; 20rmtii_it-11): Confrontare le aree di due figure composte da triangoli e rettangoli i cui vertici sono tutti sulle intersezioni di una quadrettatura di base.

La cordicella (I) (ral. 21.F.01 ; cat. 3-4 ; 21rmtf_it-1): Trovare il lato di un quadrato e successivamente quelli di un rettangolo di rapporto 2/1, il cui perimetro è uguale a quello di un triangolo equilatero con il lato di 16 cm.

La cordicella (II) (ral. 21.F.08 ; cat. 5-7 ; 21rmtf_it-8): Trovare i lati di un quadrato e di un triangolo equilatero dello stesso perimetro sapendo che il lato del triangolo misura 4 cm in più di quello del quadrato ; successivamente trovare i lati di un rettangolo di rapporto 2/1, il cui perimetro è uguale a quello delle prime due figure.

Il cuore di Martina (ral. 22.I.09 ; cat. 5-6 ; 22rmti_it-9): Confrontare l’area interna ed esterna di un poligono disegnato su una griglia quadrettata 6 x 6. Il poligono ha un asse di simmetria e i suoi vertici si trovano sulle intersezioni della quadrettatura.

La terrazza di Giuseppe (ral. 22.I.16 ; cat. 7-10 ; 22rmti_it-16): Un quadrato di lato 10 m è diviso in nove parti da quattro segmenti che congiungono ogni vertice con il punto medio di un lato opposto. Determinare le aree delle parti dopo avere percepito la loro forma.

La cinghia di Luca (ral. 22.I.18 ; cat. 9-10 ; 22rmti_it-18): Trovare la misura del perimetro di una figura composta da due archi di circonferenze, di 3 e 15 cm di raggio, e da due segmenti tangenti alle due circonferenze, nel contesto di due ruote collegate da una cinghia di trasmissione. (E’ assegnato l’angolo di 60° formato dal segmento che collega i due centri e dal raggio della circonferenza maggiore congiungente il centro con uno dei punti di tangenza)

La torta di Nonna Lucia (ral. 22.II.06 ; cat. 4-6 ; 22rmtii_it-6): Mostrare che un rettangolo viene diviso dalle sue diagonali in quattro parti equivalenti

Pavimento di legno (ral. 23.I.14 ; cat. 7-10 ; 23rmti_it-14): Vengono dati il disegno di un pavimento rettangolare e il suo perimetro, fatto di listoni rettangolari di legno tutti uguali. Calcolare il prezzo dei listoni necessari per il pavimento conoscendo il loro prezzo al metro quadrato.

Perimetro e area (ral. 24.I.18 ; cat. 9-10 ; 24rmti_it-18): Trovare i rettangoli le cui misure del perimetro in cm e le misure dell’area in cm2, sono uguali.

Mattonelle d’oro (ral. 24.II.19 ; cat. 10-10 ; 24rmtii_it-19): In un quadrato diviso in quattro parti (un quadrato, un rettangolo, un triangolo, un trapezio, disposti secondo una figura data) determinare la misura del lato del quadrato piccolo in modo che la somma dell’area di questo quadrato piccolo e di quella del triangolo sia la minima.

I fiammiferi (ral. 24.F.08 ; cat. 5-6 ; 24rmtf_it-8): Trovare la somma dei perimetri di tre poligoni disegnati all’interno di quadrati identici e i cui lati sono paralleli ai lati dei quadrati, dopo aver identificato una opportuna unità di misura.

Fili tesi (ral. 24.F.23 ; cat. 5-5 ; 24rmtf_it-23): Disegnare quadrati e rettangoli i cui i vertici si trovano su uno dei nodi di ciascuno dei quattro lati di una griglia a maglia quadrata 5 × 5 (ad eccezione dei nodi corrispondenti ai quattro vertici della griglia).

Il puzzle (ral. 24.F.24 ; cat. 5-5 ; 24rmtf_it-24): Controllare se i poligoni (sei) disegnati su una griglia possano essere ricoperti dagli otto pezzi triangolari di un puzzle (4 mezzi quadrati della griglia, 2 triangoli rettangolari isosceli composti ciascuno da 2 mezzi quadrati, 2 mezzi rettangoli (1 × 2) , presentati da due esempi: sotto forma del rettangolo 1 × 6, poi sotto forma di un esagono (non regolare)

Minigolf (ral. 25.I.08 ; cat. 5-6 ; 25rmti_it-8): Trovare la misura in metri della lunghezza di un percorso rappresentato su una griglia quadrettata, conoscendo la distanza in linea retta tra il punto iniziale e quello finale del percorso.

I due rettangoli (ral. 25.I.13 ; cat. 7-8 ; 25rmti_it-13): Confrontare le aree di due rettangoli diversi costruiti a partire da uno stesso parallelogramma (il primo su una coppia di lati paralleli, l’altro sull’altra coppia di lati paralleli).

Il pavimento di Fabio (ral. 25.I.17 ; cat. 8-10 ; 25rmti_it-17): A partire dal disegno di un pavimento rettangolare di 15 metri di perimetro, ricoperto da mattonelle rettangolari uguali fra loro di cui è noto il prezzo al metro quadrato, calcolare la spesa per l’acquisto di tutte le mattonelle.

Il tavolo triangolare (ral. 25.II.14 ; cat. 7-10 ; 25rmtii_it-14): Calcolare l’area di tre esagoni regolari congruenti costruiti su tre lati di un esagono regolare, d’area 4158 cm², i quattro esagoni sono iscritti in un triangolo equilatero.

Radici quadrate (ral. 26.II.17 ; cat. 9-10 ; 26rmtii_it-17): Disegnare un triangolo i cui vertici sono posti sui vertici dei quadrati di una quadrettatura 1cm × 1cm e i cui lati misurano 41 cm, 45 cm, 68 cm

Palloncini (ral. 26.F.17 ; cat. 9-10 ; 26rmtf_it-17): Modellizzare una situazione di applicazione del Teorema di Pitagora in cui due lati del triangolo sono espressi in funzione di una incognita.

Triangoli sul geopiano (ral. 27.I.18 ; cat. 8-10 ; 27rmti_it-18): Un triangolo è determinato da tre vertici che si trovano sulle intersezioni di una griglia a maglia quadrata (geopiano); nessuno dei suoi lati è posizionato su una linea della quadrettatura. Trovare tutti gli altri triangoli della stessa area nei quali due vertici dati rimangono immutati e il terzo vertice è un altro nodo della griglia.

Tre foto su una pagina (ral. 27.II.04 ; cat. 3-5 ; 27rmtii_it-4): Determinare il perimetro di un rettangolo composto da un quadrato grande di cui si conosce il perimetro (48 cm) e da due quadrati piccoli congruenti tra loro.

I cinque rettangoli (I) (ral. 27.II.10 ; cat. 6-7 ; 27rmtii_it-10): Formare dei rettangoli ciascuno dei quali composto da quattro rettangoli di cui si conosce il perimetro (10, 14, 20, 24 cm) e determinare il loro perimetro.

I cinque rettangoli (II) (ral. 27.II.17 ; cat. 8-10 ; 27rmtii_it-17): Formare rettangoli ognuno dei quali è composto da quattro rettangoli di perimetro dato (10, 14, 20 e 24 cm), trovare il perimetro e individuare quello con l’area maggiore.

Un mosaico del Marocco (ral. 27.II.18 ; cat. 8-10 ; 27rmtii_it-18): Calcolare il rapporto fra le aree di due tipi di figure di un mosaico, per scomposizione in quadrati, semiquadrati triangolari e rettangoli di cui un lato è quello di un quadrato e l’altro quello della sua diagonale.

Ciondoli d'oro (ral. 27.F.10 ; cat. 5-7 ; 27rmtf_it-10): Confrontare l’area di tre figure non poligonali e concave ottenute aggiungendo e togliendo semicerchi da rettangoli.

Puzzle di triangoli (I) (ral. 28.I.07 ; cat. 5-6 ; 28rmti_it-7): Cercare fra i poligoni ottenuti accostando lungo lati della stessa lunghezza quattro triangoli rettangoli uguali (con i lati di misura 3; 4; 5 in cm), un poligono il cui perimetro sia massimo.

Puzzle di triangoli (II) (ral. 28.I.13 ; cat. 7-8 ; 28rmti_it-13): Cercare fra i poligoni ottenuti accostando lungo lati della stessa lunghezza sei triangoli rettangoli uguali (con i lati di misura 3; 4; 5 in cm), un poligono il cui perimetro sia massimo.

Il giardino degli animali (ral. 28.I.15 ; cat. 8-10 ; 28rmti_it-15): Trovare l’area di una figura ingrandita a partire dalle dimensioni indicate sulla figura d’origine, considerando che il rapporto d’ingrandimento viene determinato dalla modifica di una delle dimensioni dell’ingrandimento.

Rettangoli di carta quadrettata (I) (ral. 29.I.04 ; cat. 3-4 ; 29rmti_it-4): Confrontare le aree di due rettangoli di carta quadrettata effettuando, per uno di essi, le necessarie approssimazioni.

Le due farfalle (ral. 29.I.06 ; cat. 4-6 ; 29rmti_it-6): Confrontare l’area di un triangolo rettangolo, che è la metà di un rettangolo quadrettato $(9 imes 6)$, con quella di altri due triangoli rettangoli che uniti permettono di ricostruire l’altra metà del rettangolo.

Rettangoli di carta quadrettata (II) (ral. 29.I.08 ; cat. 5-6 ; 29rmti_it-8): Confrontare le aree di due rettangoli di carta quadrettata effettuando, per uno di essi, le necessarie approssimazioni.

I sette poligoni (ral. 29.I.13 ; cat. 7-8 ; 29rmti_it-13): Confrontare le aree di sette figure disegnate su una griglia a maglie quadrate i cui vertici sono sui nodi della griglia.

Le aiuole della scuola (ral. 29.II.02 ; cat. 3-4 ; 29rmtii_it-2): Confrontare i perimetri di quattro poligoni equivalenti, disegnati su una griglia, i cui lati sono formati dai lati o dalle diagonali dei quadretti della griglia.

Il tangram del falegname (I) (ral. 29.II.10 ; cat. 6-7 ; 29rmtii_it-10): A partire da una foto di un Tangram e dei suoi sette pezzi, trovare la misura del lato del Tangram conoscendo la misura del lato del quadrato piccolo ($6$ cm).

Il puzzle (I) (ral. 29.F.14 ; cat. 7-8 ; 29rmtf_it-14): Dato un rettangolo di cui sono note le dimensioni, diviso in quattro triangoli rettangoli simili e congruenti due a due, disegnare un altro rettangolo con dimensioni diverse da quello dato, ma formato dagli stessi quattro triangoli e determinare il valore del suo perimetro.

Il puzzle (II) (ral. 29.F.21 ; cat. 9-10 ; 29rmtf_it-21): Costruire due rettangoli diversi utilizzando per ciascuno di essi quattro triangoli rettangoli simili, congruenti due a due, con il cateto maggiore del triangolo più piccolo uguale al cateto minore del triangolo più grande e calcolarne i perimetri conoscendo le misure delle ipotenuse.

Da singolo a doppio (ral. 30.I.17 ; cat. 8-10 ; 30rmti_it-17): Tra diverse proposte (di allievi) di modifica delle dimensioni di un rettangolo per ottenere un rettangolo di area doppia, stabilire quelle che sono corrette / errate, darne motivazioni e, per quelle errate, trovare il rapporto fra le aree.

La divisione del rettangolo (ral. 30.I.18 ; cat. 8-10 ; 30rmti_it-18): Un rettangolo, i cui lati misurano 5 m e 3 m, è diviso in quattro triangoli equivalenti tramite tre segmenti uscenti da un vertice; si chiede di individuare il triangolo di perimetro maggiore e di calcolarlo.

Il gatto sul tetto (ral. 30.I.19 ; cat. 8-10 ; 30rmti_it-19): Determinare la misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo, noti un cateto e i lati di un rettangolo con i vertici uno sull’ipotenusa e due su uno dei cateti. Sfruttare la similitudine di due triangoli.

(c) ARMT, 2012-2024