MUL – Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste

Cette famille concerne les problèmes où interviennent de façon essentielle des produits et des divisions (euclidiennes) de nombres naturels (entiers et positifs) ou la décomposition multiplicative de nombres.

Remarque et suggestion

Problèmes

Le partage des chameaux (ral. 02.I.04 ; cat. 3-5 ; 02rmti_fr-4): Partager 96 en moitiés, moitiés de moitié, etc.

La collection de timbres (ral. 02.II.02 ; cat. 3-3 ; 02rmtii_fr-2): Trouver le cardinal d'une collection dont on connaît une partie après deux partages équitables dont un avec reste.

La piste (ral. 02.II.12 ; cat. 4-5 ; 02rmtii_fr-12): Trouver la case atteinte après avoir fait 1994 pas sur une piste circulaire dont les cases sont marquées par les lettres de A à T. Le premier pas se fait sur la case A.

Les colliers de Sophie (ral. 03.II.07 ; cat. 3-5 ; 03rmtii_fr-7): Désigner la proportion la plus grande entre 1 sur 4, 2 sur 5, 2 sur 10 et 2 sur 20.

La collection (ral. 03.F.08 ; cat. 4-5 ; 03rmtf_fr-8): Trouver un nombre inférieur à 100 dont on connaît les restes modulo 6, 5 et 4.

Les emballages (ral. 04.I.14 ; cat. 5-5 ; 04rmti_fr-14): Répartir 995 objets en boîtes de 6 objets, puis les boîtes en cartons de 10 boîtes, puis les cartons en caisses de 8 cartons et donner le détail des récipients et objets visibles.

Les sandwiches (ral. 04.II.07 ; cat. 3-5 ; 04rmtii_fr-7): Déterminer un nombre inférieur à 30 dont on connaît les restes des divisions par 4 et par 5.

La boîte de sucres (ral. 05.I.03 ; cat. 3-4 ; 05rmti_fr-3): Déterminer le nombre de morceaux de sucre d’une boîte pleine, d’après une photo de la boîte ouverte où il manque des morceaux et où l’on peut percevoir la structure 3 x 4 x 5.

Moutons (ral. 05.II.08 ; cat. 4-6 ; 05rmtii_fr-8): Rechercher le nombre naturel proche de 300 qui est multiple de 7 et dont la division euclidienne par 2, par 3, par 4, par 5 et par 6 a un reste de 1.

La chorale (ral. 06.I.09 ; cat. 5-8 ; 06rmti_fr-9): Trouver un nombre inférieur de 9 à un nombre carré et supérieur de 4 à un autre nombre carré, dans un contexte de disposition de personnes « en carrés » sur un dallage.

Table de multiplication (ral. 06.F.05 ; cat. 3-5 ; 06rmtf_fr-5): Déterminer les apparitions du nombre 72 dans une table de multiplication des nombres de 1 à 25 (25 lignes) par les nombres de 1 à 70 (70 colonnes).

Jeunes vieillards (ral. 06.F.13 ; cat. 7-8 ; 06rmtf_fr-13): Comparer les durées: 11 ans, 120 mois, 500 semaines, 4000 jours et 100000 heures dans un contexte d’anniversaires.

Transports (ral. 07.I.14 ; cat. 6-8 ; 07rmti_fr-14): Mettre en oeuvre deux divisions avec reste de dividendes inconnus mais dont on connait la différence.

Mon nombre (ral. 07.F.14 ; cat. 6-8 ; 07rmtf_fr-14): Déterminer le nombre dans les divisions euclidiennes par les nombres de 2 à 10 a toujours 1 pour reste.

Repêchage (ral. 08.I.14 ; cat. 7-8 ; 08rmti_fr-14): Trouver le nombre de tours et de séries nécessaires dans une épreuve du 100 m mettant en lice 259 élèves. La piste d'athlétisme a 8 couloirs. Au premier tour, les participants courent par groupes de 8 ou de 7 avec le moins possible de séries avec 7 concurrents. A chaque tour, les trois premiers de chaque série sont qualifiés automatiquement. Dès le deuxième tour, les huit couloirs doivent être entièrement occupés pour chaque série quitte à faire des repêchages.

Grilles (ral. 08.II.05 ; cat. 3-5 ; 08rmtii_fr-5): Une suite de quatre grilles rectangulaires de 1x3; 2x4; 3x5; 4x6 (avec les nombres correspondants de carrés: 3; 8; 15; 24) étant donnée, dire si l'on trouvera une grille de 120 carrés puis une grille de 240 carrés en poursuivant la suite, par adjonction d'une ligne et d'une colonne à chaque étape.

Dates magiques (ral. 08.II.09 ; cat. 5-8 ; 08rmtii_fr-9): Déterminer toutes les dates comprises entre le 6 février 1993 et la fin du millénaire telles que le produit du jour par le mois donne l'année.

Le château (ral. 09.F.08 ; cat. 5-6 ; 09rmtf_fr-8): Déterminer la longueur d'un couloir de moins de 10 m sachant qu'on peut le paver exactement par des dalles carrées de 20 cm de côté ou bien de 25 cm ou bien de 30 cm

Salle de bal (ral. 09.F.15 ; cat. 7-8 ; 09rmtf_fr-15): Déterminer les dimensions d'un carré pouvant être recouvert par plus de 3000 petits carreaux (20 x 20 cm), par moins de moyens carreaux (25 x 25 cm) et plus de 2000 grands carreaux (30 x 30 cm).

La plaque d’immatriculation (ral. 10.I.12 ; cat. 6-8 ; 10rmti_fr-12): Trouver un nombre de 6 chiffres divisible par 3 tel que si on lit le nombre de gauche à droite, chaque chiffre forme un nombre plus grand que celui qui le précède. De plus chaque nombre de 2 chiffres obtenu en découpant ce nombre initial en trois tranches est premier.

Sac de billes (ral. 10.II.13 ; cat. 7-8 ; 10rmtii_fr-13): Trouver un nombre impair compris entre 1300 et 1500 divisible par 3 tel que le reste de la division par 7 soit 4 et qu'en lui additionnant 2 il soit divisible par 5.

La caravane (ral. 11.I.08 ; cat. 5-6 ; 11rmti_fr-8): Déterminer le nombre d'hommes dans une caravane composée d'ânes et de chevaux sachant que: sur chaque cheval il y a un homme et une caisse, sur chaque âne, il y a deux caisses, tous les hommes sont sur des chevaux. En tout il y a 21 caisses et 52 pattes d'animal.

Coloriage bizarre (ral. 12.II.10 ; cat. 5-7 ; 12rmtii_fr-10): Déterminer les motifs formés à certains endroits par une frise dessinée sur un quadrillage, constituée de trois lignes chacune coloriée avec une certaine périodicité.

Les marguerites (ral. 12.F.03 ; cat. 3-4 ; 12rmtf_fr-3): Déterminer sur quelle partie d'une comptine de cinq énoncés l'on arrivera en effeuillant une marguerite de 47 puis de 152 pétales.

Les biscuits d'Émilie (ral. 13.I.12 ; cat. 6-9 ; 13rmti_fr-12): Déterminer un nombre compris entre 300 et 500 dont on connaît les restes, 5, 7, 11, 15 des divisions par 9, 8, 12 et 16.

Au théâtre (ral. 14.II.09 ; cat. 5-7 ; 14rmtii_fr-9): Dans un plan quadrillé numéroté par rangées de 15, déterminer l'emplacement compris entre les numéros 88 et 107 (y compris) le plus proche de l'emplacement 104.

L’insomniaque (ral. 14.F.12 ; cat. 6-8 ; 14rmtf_fr-12): En comptant sur les doigts d'une main, "aller et retour": pouce, index, majeur, annulaire, auriculaire, annulaire, majeur, index, pouce, trouver le doigt qui correspond à 152 et celui qui correspond à 3251.

La calculatrice de Pascal (ral. 16.I.16 ; cat. 7-10 ; 16rmti_fr-16): Déterminer le nombre de 2 chiffres divisibles par 7 tel que l'on obtienne 24 en trois opérations choisies parmi la division euclidienne par 10 et la prise du double.

Transports (ral. 16.F.20 ; cat. 4-5 ; 16rmtf_fr-20): Déterminer un nombre dont le reste de la division par 12, de même que la division par 8, est 7. Les deux quotients diffèrent de 2.

La récompense (ral. 17.II.10 ; cat. 5-7 ; 17rmtii_fr-10): Déterminer un nombre connaissant les restes des divisions par 2 et 3 (dans le cadre de distribution de bonbons).

Le jardinier (ral. 18.I.06 ; cat. 4-5 ; 18rmti_fr-6): Décomposer linéaire de 58 en une somme de multiples de 3 et de 4 avec le moins de termes possibles.

Quadrillage (I) (ral. 18.I.12 ; cat. 6-8 ; 18rmti_fr-12): Repérer les réponses acceptables parmi 5 propositions de quadrillages «complets» d'une feuille rectangulaire de 36 cm sur 27 cm, par des carrés dont les mesures des côtés sont supérieures à 1 cm.

Quadrillage (II) (ral. 18.I.19 ; cat. 9-10 ; 18rmti_fr-19): Repérer les réponse sacceptables parmi quatre propositions de quadrillages complets d'une feuille rectangulaire de 36 cm sur 27 cm avec des côtés de carrés supérieurs à 1 cm.

La dernière carte (ral. 18.II.22 ; cat. 10-10 ; 18rmtii_fr-22): Trouver la stratégie gagnante d'un jeu de Nim.

La boîte de vignettes (ral. 19.I.13 ; cat. 6-8 ; 19rmti_fr-13): Trouver un nombre dont on connaît les restes des divisions euclidiennes par 2, 3, 5 et 7.

Les tables de multiplication (ral. 19.II.05 ; cat. 3-5 ; 19rmtii_fr-5): Trouver le nombre de produits différents qui s'obtiennent dans les tables de multiplication de 2 à 9.

Collection de motos (ral. 20.I.05 ; cat. 3-5 ; 20rmti_fr-5): Trouver un nombre d’objets et un nombre de boîtes tels qu’il en reste 2 si on on met 4 objets par boîte et qu’il en manquerait 3 si on voulait en mettre 5 par boîte.

Gourmandises (ral. 21.I.01 ; cat. 3-4 ; 21rmti_fr-1): Déterminer le nombre de briques (parallélépipèdes rectangles) identiques contenues dans une boîte pleine – aussi en forme de brique- d’après une photo de la boîte transparente où il manque des briques et où l’on peut perçoit la structure 3 × 4 × 5.

La frise (ral. 21.II.06 ; cat. 4-6 ; 21rmtii_fr-6): Observer le début d’une suite de 100 figures, en découvrir la périodicité (6 éléments : un cercle, deux triangles, un cercle, deux carrés) déterminer la nature de la centième figure et trouver le nombre de chaque type de figure dans la suite, dans un contexte de frise décorative.

Les abricots (ral. 21.II.11 ; cat. 6-8 ; 21rmtii_fr-11): Déterminer le dividende et le quotient entier d’une division euclidienne sachant que si le diviseur est 3 le reste sera 2 et si le diviseur est 4, il manque 5 au dividende pour pouvoir effectuer l’opération avec un reste nul, dans un contexte de partage d’abricots.

Les accros du boulot (ral. 22.F.14 ; cat. 7-10 ; 22rmtf_fr-14): Déterminer les régularités des années qui ont 53 dimanches et celles qui ont 53 week-ends.

Grille de nombres (ral. 23.I.13 ; cat. 6-10 ; 23rmti_fr-13): Découvrir les régularités d’une grille de nombres à partir d’un fragment qui en représente les cinq premières lignes et les 11 premières colonnes, se rendre compte éventuellement qu’il s’agit de la table de multiplication et compléter quatre autres fragments rectangulaires (photos) de six à douze cases.

Rue de la république (ral. 23.II.15 ; cat. 7-10 ; 23rmtii_fr-15): Déterminer deux nombres différents de deux chiffres sachant que le chiffre des dizaines de l’un est le chiffre des unités de l’autre et réciproquement, que leur différence est 18, leur somme est multiple de 6 et leur produit multiple de 8.

Roses et tulipes (ral. 23.F.18 ; cat. 9-10 ; 23rmtf_fr-18): Trouver, parmi les couples de nombres naturels (N; M) tels que 3M = 4N + 4 celui pour lequel la somme 15N + 22M est inférieure et la plus proche de 400; dans un contexte de bouquets de fleurs.

Les chocolats de Zoé (ral. 24.F.10 ; cat. 5-7 ; 24rmtf_fr-10): Trouver le plus grand nombre inférieur à 30 qui peut s’écrire de cinq manières différentes sous forme de produit de deux nombres naturels, différents ou non, et calculer le complément de ce nombre à 30.

Collection de cartes postales (ral. 24.F.12 ; cat. 6-8 ; 24rmtf_fr-12): Chercher tous les nombres inférieurs à 200 divisibles par 5, et dont le reste de la division par 2,3 et 7 soit égal à 1.

Les grilles (ral. 25.I.06 ; cat. 4-6 ; 25rmti_fr-6): Dans une suite de grilles dont les quatre premières sont dessinées (1 × 3 ; 2 × 4 ; 3 × 5 ; 4 × 6 ) et le nombre de carreaux indiqué (3 ; 8 ; 15 ; 24), vérifier s’il est possible de trouver des grilles de 112 et 224 carreaux.

Nombres de six chiffres (ral. 25.I.18 ; cat. 8-10 ; 25rmti_fr-18): Trouver les nombres formés des six chiffres 1, 2, 3, 4, 5, et 6, divisibles par 6, tels que le nombre formé des cinq premiers chiffres est divisible par 5, celui formé par les quatre premiers chiffres est divisible par 4, celui formé par les trois premiers chiffres est divisible par 3 et celui formé par les deux premiers chiffres est divisible par 2.

Sac de haricots (ral. 25.II.15 ; cat. 8-10 ; 25rmtii_fr-15): Déterminer le nombre compris entre 1400 et 1700, dont les restes des divisions de ce nombre par 2, 3, 5 et 7 sont respectivement 1, 0, 2 et 5.

La 60e décimale (ral. 25.F.16 ; cat. 8-10 ; 25rmtf_fr-16): Déterminer la 60 e décimale dans le développement périodique de 1/23.

Les tours (ral. 26.II.07 ; cat. 5-7 ; 26rmtii_fr-7): Trouver un nombre inférieur à 50 qui dépasse de 2 un multiple de 3, de 1 un multiple de 4, et de 4 un multiple de 5

Le grand livre des problèmes (ral. 26.II.19 ; cat. 9-10 ; 26rmtii_fr-19): Trouver tous les couples de nombres consécutifs supérieurs à 1 et plus petits que 1000 tels qu'en faisant le produit des chiffres qui les composent, on obtienne un nombre donné (720).

Une grande écurie (I) (ral. 27.II.11 ; cat. 6-7 ; 27rmtii_fr-11): Trouver les nombres qui, multipliés par eux-mêmes donnent un produit compris entre 1000 et 1100.

Le carrelage (ral. 27.II.12 ; cat. 6-8 ; 27rmtii_fr-12): Trouver les dimensions possibles, en nombre entiers de décimètres, de carreaux rectangulaires dont la longueur est le double de la largeur, sachant qu’il en faut entre 200 et 1000 pour recouvrir un rectangle de 9 m sur 18 m.

Une grande écurie (II) (ral. 27.II.15 ; cat. 8-10 ; 27rmtii_fr-15): Trouver les nombres qui, multipliés par eux-mêmes donnent un produit compris entre 900 et 1100 et tels que la somme de ce produit et du nombre de départ soit inférieure à 1100.

Pompes (ral. 27.F.13 ; cat. 7-10 ; 27rmtf_fr-13): Déterminer le nombre de termes d’une suite arithmétique connaissant le premier et le dernier terme (10 et 73) et le fait que la raison est entière.

Parcours de nombres (ral. 29.II.03 ; cat. 3-5 ; 29rmtii_fr-3): Compléter quatre suites des premiers multiples d’un nombre. Pour trois d’entre elles, on ne connait que le nombre de termes, et le dernier terme, $120$.

Nombres cachés (ral. 29.II.04 ; cat. 3-5 ; 29rmtii_fr-4): Compléter un produit de trois facteurs égal à $80$ dont un des facteurs est $5$ et donner toutes les solutions composées de nombres naturels.

Des enfants ... bien salés (ral. 29.II.05 ; cat. 3-5 ; 29rmtii_fr-5): Trouver les nombres dont la moitié est $3  imes 4$ ou $3  imes 4 + 1$ ou $3  imes 4 + 2$.

Egalité à compléter (ral. 29.II.12 ; cat. 6-8 ; 29rmtii_fr-12): Trouver toutes les paires de nombres positifs, dont le produit multiplié par $90$ est $1620$, tels qu’un des nombres est inférieur à $10$ et s’écrit avec deux chiffres dont le dernier est $5$.

Beaucoup de zéros (ral. 29.II.20 ; cat. 9-10 ; 29rmtii_fr-20): Trouver le plus petit produit formé de facteurs différents choisis parmi les nombres naturels de $1$ à $30$ dont l’écriture se termine par un maximum de zéros.

Album d'images (ral. 29.F.01 ; cat. 3-4 ; 29rmtf_fr-1): Trouver combien de fois il faut ajouter 3 à 74 pour arriver au résultat de 95 + 6.

Michèle et ses soeurs (ral. 29.F.02 ; cat. 3-4 ; 29rmtf_fr-2): Trouver un nombre entier n tel que n + (n – 3) + (n + 5) + [(n + 5) + 2] = 29.

Les bracelets de Lara (ral. 29.F.04 ; cat. 3-4 ; 29rmtf_fr-4): Déterminer combien d'éléments, d'un type donné, apparaissent dans une séquence dont la régularité alternée de deux types d'objets est connue. Utiliser ce nombre pour calculer si 100 éléments pour chacun des deux types sont suffisants pour composer cinq séquences identiques à celle qui est donnée.

Jeux de chiffres (ral. 29.F.07 ; cat. 5-6 ; 29rmtf_fr-7): Former deux nombres naturels avec les cinq chiffres 1, 2, 3, 4, 5 utilisés chacun une seule fois, tels que leur produit soit le plus grand possible.

Les billes (ral. 29.F.08 ; cat. 5-7 ; 29rmtf_fr-8): Trouver deux nombres sachant qu'en augmentant l'un de 12 et l'autre de 24, on obtient deux nombres dont la somme est 86 et la différence 14.

Cueillette de fruits (ral. 29.F.13 ; cat. 7-8 ; 29rmtf_fr-13): Trouver un nombre entier, somme de quatre nombres a, b, c, d tels que a = b/2, c = b + 6, a + b = c + d – 8, d = 11

Images à donner (ral. 29.F.16 ; cat. 8-10 ; 29rmtf_fr-16): Trouver deux nombres entiers tels que le premier augmenté de 4, donne 5 fois le deuxième et diminué de 8 donne un multiple du deuxième.

Défi mathématique (ral. 30.I.09 ; cat. 5-7 ; 30rmti_fr-9): Trouver les triplets de nombres naturels dont la somme est inférieure à 20 et dont le produit est 180.

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